Wachstum von Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe die folgende Aufgabe vor mir und ich bin irgendwie verwirrt:

Text erkannt:

In dieser Aufgabe wollen wir eine sehr praktische obere Schranke für das Wachstum von Binomialkoeffizienten herleiten. Sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( \alpha \in \mathbb{R} \) mit \( 0<\alpha \leq 1 / 2 \).
(a) Zeigen Sie: Für alle \( p \in \mathbb{R} \) mit \( 0<p \) ist
$$ \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}=(1+p)^{n} $$
(b) Folgern Sie: Für alle \( p \in \mathbb{R} \) mit \( 0<p \leq 1 \) ist
$$ \sum \limits_{0 \leq k \leq \alpha n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{\alpha n} \leq(1+p)^{n} $$
(c) Folgern Sie: Für alle \( p \in \mathbb{R} \) mit \( 0<p \leq 1 \) ist
$$ \sum \limits_{0 \leq k \leq \alpha n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \leq\left(\frac{1+p}{p^{\alpha}}\right)^{n} $$

Problem/Ansatz:

Unterpunkt (a) habe ich bewiesen (hoffentlich richtig), aber ich weiß nicht, wie ich weiter gehen muss. Ich freue mich auf irgendwelche Hilfe!

Answer 1

b) ist fast die selbe Summe wie a), aber nicht mit allen Summanden (die letzten fehlen). Damit muss die Summe ein wenig kleiner sein als bei a)

Für die Ungleichung von c) wurde einfach die Ungleichung von b) auf beiden Seiten durch p^αn geteilt.

Comments

Danke für die Antwort.