Alle Lösungen x∈ℂ mit x^2 = i in der Form a+bi schreiben

Question

alle x element von C mit x^2 = i in a+bi schreiben

Also einen Ansatz habe ich schon :

X^2 = i

kann ich auch als (a+bi)^2 = i  schreiben.

Das dann auflösen a^2 +2abi +b^2*i^2 = i

Jetzt wollt ich eigentlich p q formel benutzen nur das geht ja irgendwie hier dann doch nicht. Dann dachte ich mir die Trennen in reale und komplexe zahlen  dann gilt
2abi= i  -->     ab= 1/2       und a=b   das bring mich  aber auch nict weiter -.- Wisst ihr vielleicht einen weg ?

Comments

Dein Ansatz ist gut.

Das Trennen in real und Imaginärteil im Besonderen.

Damit erhältst du die zwei Gleichungen:

2ab=1 und a²-b²=0

Damit ergibt sich ab=1/2 und a=b oder a=-b.

Also ist a²=1/2 und a=b und -a²=1/2 und a=-b...

Answer 1

Nun, wegen

i ² = - 1

ist

b ² * i ² = - b ²

also:

a ² + 2 a b i + b ² * i ² = i

<=> a ² + 2 a b i - b ² = i

<=> a ² - b ² + 2 a b i = 0 + 1 i

Koeffizientenvergleich:

a ² - b ² = 0 und 2 a b = 1

<=> a ² = b ²  und a b = 1 / 2

<=> a ² = b ²  und a = 1 / ( 2 b )

<=> ( 1 / ( 2 b )  ) ² = b ²

<=> 1 / 4 b ² = b ²

<=> 1 / 4 = b ⁴

<=> b ² = +/- ( 1 / 2 )

<=> b = +/- √ ( 1 / 2 )

Einsetzen in a = 1 / ( 2 b ) : 

b = - √ ( 1 / 2 ) => a = 1 / ( 2 * ( - √ ( 1 / 2 ) ) )

b = √ ( 1 / 2 ) => a = 1 / ( 2 * √ ( 1 / 2 ) )

Also:

x ² = i

<=> x =  - 1 / ( 2 * ( √ ( 1 / 2 ) ) ) - i  √ ( 1 / 2 )  oder x = 1 / ( 2 * √ ( 1 / 2 ) )  + i √ ( 1 / 2 )

Answer 2

Hi,

Deine Gedanken sind soweit richtig. Führe das zu Ende:

 

2ab = 1

a^2-b^2 = 0   --> |a| = b

 

in die erste Gleichung: a^2 = 1/2

a = ±√(1/2)

 

Die Lösung ist also:

x₁ = -√(1/2)-√(1/2)i

x₂ = √(1/2)+√(1/2)i

 

Grüße