nachdem das beim letzten Mal so gut funktioniert hat, stelle ich gleich die nächste Frage :)
Dieses Mal zum Thema Algebra, genauer gesagt zu separablen Körpererweiterungen.
Es geht um folgende Implikation, wobei L/K eine endliche Körpererweiterung sei:
Zunächst poste ich hier die Aussage:
L=K(α_1,...α_n) für α_1,...α_n ∈ L separabel ⟹ Es gibt eine Körpererweiterung mit genau [L:K] Körpermonomorphismen
φ: L ->M mit φ eingeschränkt auf K ist die Identität von L eingeschränkt auf K.
Hier noch eine Hilfsaussage für den Beweis:
Es sei L/ Keine endliche Körpererweiterung und M/L sei eine Körpererweiterung.Dann gibt es höchstens |L:K|
K örpermonomorphismen φ:L֒→M mit φ_K=id_K.
Der Beweis:
Wir wählen den Körper M als Zerfällungskörper des Polynoms f, wobei f das Produkt der Minimalpolynome der α_i sei.
Setzen wir nun voraus, daß die α_i separabel über K sind, so hat das Minimalpolynom μ_(α_i) von α_i über K_(i−1) als Teiler des Minimalpolynoms von α_i über K keine mehrfache Nullstelle und hat mithin genau deg(μ_(α_i)) Nullstellen.
(Hier gilt K_i := K(α_1,...,α_i)
Mithilfe der Fortsetzbarkeit von Isomorphismen auf Stammkörpern können wir dann Monomorphismen
φ:L->M ausgehend von φ_0 = id_K :K_0=K֒→M sukzessive konstruieren, wobei wir bei der Fortsetzung im i-ten Schritt von φ(i−1):K_(i−1֒)→M nach φ_i :K_i = K_(i−1)(αi)֒→M
genau deg(μ_(α_i)) = |K_i :K_(i−1)| Möglichkeiten haben. Auf diese Weise konstruieren wir |L:K|=|K_1:K_0|·|K_2:K_1|·...·|K_n:K_(n−1)| verschiedene Monomorphismen φ:L→M mit φ_K = id_K, und wegen (*) gibt es auch nicht mehr.
Meine Frage dazu: Inwieweit benutze ich hier die Fortsetzbarkeit von Isomorphismen auf Stammkörpern, wenn ich die Monomorphismen φ_i konstruiere ? Warum es für jeden Monomorphosmus φ_i genau deg(μ_(α_i)) Möglichkeiten haben wir an anderer Stelle gezeigt, das liegt daran, dass φ_i eine Nullstelle von μ_(α_i) auf eine von φ_i(μ_(α_i)) abbildet, aber ich sehe irgendwie nicht welche Isomorphismen auf welche Stammkörper fortgesetzt werden. Vielleicht hat ja jemand von euch einen Tipp :)
LG
