A) r(x) = −x^2 + 2ax−(4 + a) g : y = 2x + 1
Ist es so richtig?
Oder sollte dort
B) r(x) = −x2 + 2ax−(4 + b) g : y = 2x + 1
stehen?
Denn du sagtest, "Bestimmen Sie alle Parameter a"
Ist es ein Parameter wie oben, oder sind es die Parameter a und b?
Da es am Anfang meiner Rechnung egal ist, welche Variante wir haben, fange ich einfach an.
Dazu betrachte ich die negative Einheitsparabel
P(x) = - \( x^{2} \)
P'(x) = - 2 x
P'(-1)= 2.
Die Gerade g berührt die Parabel bei (-1;-1)
denn sie haben dort die gleiche Steigung und
P(-1) = - \((-1) ^{2} \)= -1= 2*(-1)+1 = g(-1)
Wenn ich nun diese Parabel auf der Geraden b(x)=2x verschieben, dann wird sie auch weiterhin die Gerade g tangential berühren.
Ich verschieben den Scheitelpunkt also entlang dieser Geraden b
d.h. ys =2xs
Nun schreibe ich die Parabel in Scheitelform.
P(x)= - \( (x-xs)^{2} \) + ys
Nun multiplizieren ich die Klammer aus und setze für ys die 2xs
P(x)= - x^2 + 2*xs*x- xs^2 +2xs
zum besseren Vergleich setze ich xs=a
P(x)= - x^2 + 2ax- a^2 +2Art
Nun betrachte ich die Variante A)
r(x) = −x^2 + 2ax−(4 + a)
beim Vergleich der beiden Funktionen, stelle ich fest, dass r(x) die Gerade g berührt, wenn
4+a = a^2 - 2a
0 = a^2 - 3a -4
a₁= \( \frac{3}{2} \) + \( \sqrt{\frac{25}{4}} \)
x₁ = \( \frac{3}{2} \) + \( \frac{5}{2} \) =4
x₂ = \( \frac{3}{2} \) - \( \frac{5}{2} \) = -1
2.Variante
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, aber b muss bestimmte Bedingungen erfüllen.
P(x)= - x^2 + 2ax- a^2 +2a
r(x) = −x2 + 2ax−(4 + b)
a^2 - 2a = 4 + b
b = a^2 - 2a - 4
Wie zu zeigen.
