Bestimme den Abbildungsmatrix und Standardabbildungsmatrix

Question

\fedon\mixon\phi: \R^3 -> R^3 linear mit \phi((1,2,-4))=(-4,6,10) und \phi((2,0,2))=(-4,-6,0) sowie \phi((-1,-1,4))=(3,-4,-10).

Weiter sei C= (v1=(-2,4,3), v2=(4,1,-4), v3=(-3,1,1))

und sei D=( w1=(1,1,-2), w2=(-1,2,0), w3=(-1,0,1))

Ich wollte fragen wie man den Standardabbildungsmatrix zu \phi bildet
Und man soll auch zu jedes i\in{1,2,3} ein \phi(vi) geben
Und den Abbildungsmatrix M von D nach C (\phi) bilden

Kann mir jemand dabei helfen
\fedoff

Text erkannt:

\( \varphi: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{3} \) linear mit \( \varphi((1,2,-4))=(-4,6,10) \) und \( \varphi((2,0,2))=(-4,-6,0) \)
sowie \( \varphi((-1,-1,4))=(3,-4,-10) \)
Weiter sei \( \mathrm{C}=(\mathrm{v} 1=(-2,4,3), \mathrm{v} 2=(4,1,-4), \mathrm{v} 3=(-3,1,1)) \)
und sei \( D=(w 1=(1,1,-2), w 2=(-1,2,0), w 3=(-1,0,1)) \)
Ich woll te fragen wie man den Standardabbildungsmatrix zu \( \varphi \) bildet
Und man soll auch zu jedes \( i \in\{1,2,3\} \) ein \( \varphi \) (vi) geben
Und den Abbildungsmatrix M von D nach \( C \) ( \( \varphi \) ) bilden
Kann mir jemand dabei helfen

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Bildvektoren und die Ausgangsvektoren jeweils in eine Matrix schreibst, erhältst du die Standardabbildungsmatrix \(\mathbf M\) als Matrix-Produkt:$$\mathbf M=\left(\begin{array}{r}-4 & -4 & 3\\6 & -6 & -4\\10 & 0 & -10\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 2 & -1\\2 & 0 & -1\\-4 & 2 & 4\end{array}\right)^{-1}$$$$\phantom{\mathbf M}=\left(\begin{array}{r}-4 & -4 & 3\\6 & -6 & -4\\10 & 0 & -10\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-0,2 & 1 & 0,2\\0,4 & 0 & 0,1\\-0,4 & 1 & 0,4\end{array}\right)$$$$\phantom{\mathbf M}=\left(\begin{array}{r}-2 & -1 & 0\\-2 & 2 & -1\\2 & 0 & -2\end{array}\right)$$Die Vektoren \(\vec v_i\) aus der Basis \(C\) haben folgende Bilder:$$\mathbf M\,\vec v_1=\left(\begin{array}{r}-2 & -1 & 0\\-2 & 2 & -1\\2 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-2\\4\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\9\\-10\end{array}\right)$$$$\mathbf M\,\vec v_2=\left(\begin{array}{r}-2 & -1 & 0\\-2 & 2 & -1\\2 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}4\\1\\-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-9\\-2\\16\end{array}\right)$$$$\mathbf M\,\vec v_3=\left(\begin{array}{r}-2 & -1 & 0\\-2 & 2 & -1\\2 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-3\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}5\\7\\-8\end{array}\right)$$Die Abbildungsmatrix \(\mathbf M^D_C\) erwartet Eingangsgrößen mit Komponenten bezüglich der Basis \(D\) und liefert Ausgangsgrößen mit Komponenten bezüglich der Basis \(C\). Ich schreibe zuerst die Transformationsformel hin und erkläre sie danach:$$\mathbf M^D_C=\operatorname{\mathbf{id}}^E_C\cdot\mathbf M\cdot \operatorname{\mathbf{id}}^D_E$$Wenn von rechts ein Vektor oder eine Matrix multipliziert wird, werden mit \(\operatorname{\mathbf{id}}^D_E\) deren Komponeten von der Basis \(D\) in die Einheitsbasis \(E\) umgerechnet. Darauf kann die Abbildungsmatrix \(\mathbf M\) wirken und liefert das Ergebnis mit Komponenten bezüglich der Einheitsbasis \(E\). Diese Komponenten müssen dann mittels \(\operatorname{\mathbf{id}}^E_C\) in Komponenten bezüglich der Basis \(C\) umgerechnet werden.

Die Transformationsmatrix \(\operatorname{\mathbf{id}}^C_E\) von der Basis \(C\) zur Einheitsbasis \(E\) und die Transformationsmatrix \(\operatorname{\mathbf{id}}^D_E\) von der Basis \(D\) zur Einheitsbasis \(E\) können wir sofort hinschreiben, weil die Vektoren in der Basis \(C\) bzw. in der Basis \(D\) mit Komponenten bezüglich der Einheitsbasis \(E\) angegeben sind.$$\operatorname{\mathbf{id}}^C_E=\left(\begin{array}{r}-2 & 4 & -3\\4 & 1 & 1\\3 & -4 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\operatorname{\mathbf{id}}^D_E=\left(\begin{array}{r}1 & -1 & -1\\1 & 2 & 0\\-2 & 0 & 1\end{array}\right)$$Zur Berechnung von \(\mathbf M^D_C\) benötigen wir \(\operatorname{\mathbf{id}}^E_C\), also die umgekehrte Transformation \(\operatorname{\mathbf{id}}^C_E\):$$\operatorname{\mathbf{id}}^E_C={\left(\operatorname{\mathbf{id}}^C_E\right)}^{-1}$$Damit haben wir alles zusammen:$$\mathbf M^D_C=\left(\begin{array}{r}-2 & 4 & -3\\4 & 1 & 1\\3 & -4 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}-2 & -1 & 0\\-2 & 2 & -1\\2 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & -1 & -1\\1 & 2 & 0\\-2 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{\mathbf M^D_C}=\frac{1}{43}\left(\begin{array}{r}43 & 34 & -10\\-43 & 62 & 45\\-43 & 60 & 38\end{array}\right)$$Das Ergebnis ist leider etwas krumm, weil die Inverse der ersten Matrix keine "glatten" Zahlen liefert.

Answer 2

Die Standardabbildungsmatrix enthält in den Spalten die

Bilder der Standardbasisvektoren. Dazu musst du diese

erst mal durch die gegebenen Vektoren ausdrücken:

$$x*\begin{pmatrix} 1\\2\\-4 \end{pmatrix}+y*\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix}+z*\begin{pmatrix} -1\\-1\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Das gibt x=-1/5    y=2/5     z=-2/5

Dann bekommst du die erste Spalte der Standardmatrix durch die

entsprechende Linearkombination der gegebenen Bilder, das wäre dann

-2
-2
2

Entsprechend bekommst du die 2. Spalte, wenn du mit dem 2. Standardbasisvektor

beginnst. Ich bekomme da:

-1
2
0   etc.

Du kannst aber auch gleich die gegeben Vektoren in eine Matrix M schreiben

und die gegebenen Bilder in eine Matrix N und rechnest dann einfach

N*M^(-1) .  Gibt dann  A=

-2   -1   0
-2    2    -1
2    0     -2.

Die Bilder von den v_i bekommst du durch

A*v_i . Für i=1  gibt es:   φ(v_1) =

0
9
-10.  etc.