Aufgabe:
Gegeben ist f(x). Berechne das Volumen, das bei Rotation des Graphen von f im angegebenen Intervall um die x-Achse entsteht.
A) f(x) = √25 - x^2 ; (-5/5)
B) f(x) = 1/3x + 2 ; (0/9)
Problem/Ansatz:
Ich komme leider nicht mehr weiter hat vielleicht jemand ne Idee, wäre sehr hilfreich
Volumenformel für Drehkörper
$$V=π*\int_{a}^{b}(f(x))^2 dx$$ Hier also
$$V=π*\int_{-5}^{5}(√25 - x^2)^2 dx=π*\int_{-5}^{5}(5 - x^2)^2 dx$$
$$=π*\int_{-5}^{5}(x^4 - 10x^2 + 25) dx =π*2000/3 $$
Zu B) π·\( \int\limits_{0}^{9} \)(1/3·x+2)2 dx=π·\( \int\limits_{0}^{9} \) (x2/9+4x/3+4) dx=π·[x3/27+2x2/3+4x] in den Grenzen von 0 bis 9=117π.
Bei A) soll es vermutlich heißen; f(x)=\( \sqrt{25-x^2} \). Dann wäre π· \( \int\limits_{-5}^{5} \) (25-x2) dx zu berechnen.
a)
∫ (-5 bis 5) (pi·√(25 - x^2)^2) dx = 500/3·pi = 523.6
Kontrolle über Kugelvolumen
V = 4/3·pi·5^3 = 500/3·pi
b)
∫ (0 bis 9) (pi·(1/3·x + 2)^2) dx = 117·pi = 367.6
Kontrolle über Kegelstumpf
V = 1/3·pi·(2^2 + 2·5 + 5^2)·9 = 117·pi
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