Bestimmen Sie die Punkte, in welchen der Graph von f die Steigung m=3 hat.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+8 x+1 \) Bestimmen Sie \( f^{\prime}(4) \)
b) Bestimmen Sie die Punkte, in welchen der Graph von f die Steigung \( m=3 \) hat.
c) Geben Sie alle \( x \) an, für die der Graph von f eine positive Steigung hat.

Problem/Ansatz:

Sind a & b richtig? Und wie soll man c) rechnen?

a) erste Ableitung gemacht : f'(x)= x²-6x +8

Für x = 4 einsetzen um die Steigung in x 4 zu berechnen: 4²-24+ 8 = 0 = f'(4)

b) 3 = x² - 6x + 8

PQ Formel : x1 = 5 und x2=1

c) Ich dachte eine Monotonietabelle wäre gut, um zu schauen wo die x Werte positiv sind, aber das macht überhaupt gar keinen Sinn. Ich versteh nicht wie man die Aufgabe sinnvoll lösen soll!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Geben Sie alle X an wo der Graph positiv ist

Stichworte: anfangswertproblem

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+8 x+1 \)
c) Geben Sie alle \( x \) an, für die der Graph von \( f \) eine positive Steigung hat.

Problem/Ansatz:

Nullstellen der ersten Ableitung berechen:

0= x² -6x +8

x= 4 oder x = 2

Und dann Monotonie tabelle? Aber das macht überhaupt gar keinen Sinn, weil selbst wenn die Funktion um die Extremstellen positiv sind, könnte es ja weiter links im Graphen ein Intervall geben das negativ, aber keine Extremstelle ( globales Maximum ) ist ,oder?

Ich fänds super lieb, wenn mir das jemand schrittweise erklären könnte (11.Klasse)!

Answer 1

Aloha :)

Die ersten Teile hast du alle richtig gelöst. Für (c) kannst du die Ableitung faktorisieren:$$f'(x)=x^2-6x+8=(x-2)\cdot(x-4)$$Positiv ist die Ableitung genau dann, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben.$$\text{1)}\quad x-2>0\;\land\;x-4>0\quad\Rightarrow\quad x>2\;\land\;x>4\quad\Rightarrow\quad x>4$$$$\text{2)}\quad x-2<0\;\land\;x-4<0\quad\Rightarrow\quad x<2\;\land\;x<4\quad\Rightarrow\quad x<2$$Für \(x<2\) oder \(x>4\) ist die Steigung also positiv. Ich habe dir die Ableitung auch noch mal geplottet, dann sieht du das schön:

~plot~ x^2-6x+8 ; [[0|6|-2|5]] ~plot~

Comments

Hi, danke für deine Antwort :)

Aber geht es in c nicht um die X- Werte der originalen Funktion? Also wo die Steigung in der originalen Funktion positiv ist & nicht in der Ableitung oder? Also wenn die Ableitungsfunktion für x<2 oder x>4 positiv ist, dann beantwortet das doch nicht die Frage wo der Graph von f ( nicht f') positiv ist, oder? Ich bin verwirrt haha

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Die (c) lautet: "Geben Sie die x-Werte an, bei denen der Graph von f eine positive Steigung hat." Es geht also um die Steigung des Graphen und die ist gleich der Ableitung. Es ist also tatsächlich gefragt, wo die Ableitung positiv ist.

Answer 2

Alles richtig,

f'(4)=0

f'(2)=0

f'( x>4 oder x<2) >0

Comments

Kannst du das bitte näher erklären?

Inwiefern sagen die Nullstellen etwas über die Steigung des Graphens aus?

Ich versteh das nicht (T-T)

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f'(x) = x^2 -6x+8

Ist eine nach oben offene Parabel, die Nullstellen der Parabel liegen bei x =2

und x=4, darum muss

f'(x<2) >0       f'(x>4)>0

( Du hast doch auch richtig gesagt,

f'(1)=3             f'(5)=3    )

Der Scheitelpunkt liegt bei x=3

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Meine Erklärung ist nach oben gerutscht.

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@Hogar: Ich habe das oben mal verschoben. Nun an der richtigen Stelle?

Und: Brauchen wir den Text der zweiten Version noch? Was davon gehört als Ergänzung in die Fragestellung?

Answer 3

In den beiden Extrema ist die Steigung 0. Zwischen den beiden Extrema ist die Steigung negativ. An allen anderen Stellen ist die Steigung positiv.