Folgen: Bildungsvorschrift für an bestimme?

Question

Hallo,könnte mir bitte jemand erklären wie ich die Bildungsvorschrift für a_{n aus den Folgengliedern}  bestimme?

	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅
a)	1	-2	3	-4	5
b)	0	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{2}{3} \)	\( \frac{3}{4} \)	\( \frac{4}{5} \)
c)	16	-8	4	-2	1
d)	-4	-1	2	5	8
e)	3	4 \( \frac{1}{2} \)	3\( \frac{2}{3} \)	4\( \frac{1}{4} \)	3\( \frac{4}{5} \)

bei a) ist doch die die Folge -1, 1, -1,1,-1

zu erkennen. Wie mache ich daraus eine Bildungsvorschrift und bei der restlichen Aufgabe?

:)

Answer 1

1) an=n*(-1)^(n-1)

2) (n-1)/n

3) (-1)^(n-1)*2^(5-n)

4) 3*n-7

5) ist schwieriger...

3

3+3/2=3+1+1/2=4+(-1)^2/2

3+2/3=3+1-1/3

3+5/4=3+1+1/4

3+4/5=3+1-1/5

Also \(a_n=4+\frac{(-1)^n}{n}\)

:-)

Comments

vielen Dank :)

Answer 2

Für alle, die die Vielfalt der Mathematik kennen und nicht nur die "Pflichtaufgaben der Schule" stur abarbeiten,
möchte ich daran erinnern, dass jede endliche Zahlenfolge durch UNENDLICH viele Bildungsvorschriften (Algorithmen) konstruiert werden kann.

Am Beispiel von Aufgabe c) 16,-8,4,-2,1 hier mal 6 Algorithmen: {Hinweis: x^y = pow(x,y)  }

1) pow(-1,i+1)*pow(2,5-i); in Worten:

wechselndes Vorzeichen bei der um 5 verschobenen 2er-Potenzfolge in negierter Richtung

2) "Interpolationspolynom" siehe Wikipedia: 211+3*x*(3*x*(169+x*(3*x-38))-922)/8
3) bekannte oeis-Zahlenfolge etwas umgestellt:

(-1)^(n + 1) floor((10^((n - 11)^2) (-1 + 10^(11 - n)))/(1 - 2^(56 - 5 n) 5^(55 - 5 n) + 10^(66 - 6 n))) mod 10^(10-n)
{-31, 16, -8, 4, -2, 1, -1, 0, 0}

4) Table[DivisorSigma[0, (6-n)!]*(-1)^(n+1), {n, 0, 8}] ergibt {-30, 16, -8, 4, -2, 1, -1, ...}

"Anzahl der Divisoren von der Fakultätsfunktion rückwärts mit wechselndem Vorzeichen"

5) Trigonometrische Interpolation {kann ich bei Bedarf mal vorrechnen}

6) Nachkommastellen-Algorithmus: je 2 Ziffern von (16*PI)/65-1626/(845*PI) mit wechselndem Vorzeichen

Algor. 1,2 und 6 kann der Iterationsrechner mit 1 Klick online vorrechnen:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#211+3*x*(3*x*(169+x*(3*x-38))-922)/8@Ni=0;a=((16*PI)/65-1626/(845*PI)).toString();@N@Bi]=Fx(i);@Ci]=@P-1,i+1)*@P2,5-i);aD[i]=@Ua.substr(2*i,2))*@P-1,i+1);@Ni%3E7@N0@N0@N#

...

Man kann immer so weitermachen, denn die Mathematik ist GRENZENLOS!

Answer 3

bei a wird der Betrag immer um 1 größer und die Vorzeichen wechseln,

allerdings ist das erste plus und das zweite minus etc. also

a_n = (-1)^(n+1) * n

c)   (-1)^(n+1)  * 32 / 2^n

Answer 4

MontyPhyton s Lösungen sind sehr gut, doch, es steht nirgends geschrieben, dass es die explizite Form sein soll.

Darum ein Beispiel für die Rekursive Form

e.) 3/1  ;  9/2 ;  11/3 ; 17/4   ; 19/5   ; 25/6

oh, war einer zuviel

a1= 3/1 a2 = 9/2

Für n >2 an = ( an-2 +8) * ( n-2)/n

Wenn man die Folge hinschreiben, ist es einfacher, als es genau aufzuschreiben.

Nun " Monty Python für Schnecken"

Unter dem Bruchstrich steht 1 ; 2 ; 3 ;  ;n

Cn= 1/n

Betrachten wir also die Folge über dem Bruchstrich

3         oder                3

3+ 6 =9                       3 + 1* 4 + 2 = 9

3+ 6 +2 =11                3 + 2* 4  = 11

3 +6 + 2 + 6 = 17       3 + 3* 4  +2= 17

3+ 6 +2 + 6 + 2 =19   3 + 4 * 4 =19

Oder

1*4 -1 =3

2*4 +1=9

3*4 -1=11

4*4 +1=17

oh, das kenne ich bn = n*4 + \((-1)^{n} \)

Da cn = 1/n

folgt für an = bn/cn

an= 4 + \( \frac{(-1)^{n}}{n} \)

Was will ich damit sagen?

MontyPhyton liefert immer schnell gut durchdachte Lösungen, dass sollte euch aber nicht hindern, selbst mit den Werten rumzuspielen. Es ist nicht immer elegant, doch es hilft sehr, die nötige Übung zu bekommen.

Comments

Danke für dein Lob!

:-)

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Dankeschön für die Hilfe ;)