Bogenlänge einer Beule berechnen

Question

Aufgabe Länge einer Bezierkurve:

Ich habe eine symmetrische Bezierkurve 2. Grades (Begriff mir bis vor 2 Stunden unbekannt ...) mit den Kontroll Punkten (Koordinaten x/y)

P1: 0/0

P2: 5/4

P3: 10/0

Unmathematisch gesprochen nichts anderes als eine Strecke mit Distanz von 10 (cm) mit einer Beule von 4 (cm) Höhe.

Meine Bitte an Euch: Kann mir jemand einfach die Bogenlänge der Beule nennen?

Comments

Ich habe noch keine Lösung, doch ich verstehe durch folgenden Link die Aufgabe.

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2004%2520Band%252037/VortragSchloeglhofer.pdf&ved=2ahUKEwimq-H48LvrAhUMilwKHbUcBeUQFjACegQIAxAB&usg=AOvVaw37DeYU1ytjtBVPtFm0rhkf

Da deine "Ausbeulung" P2 genau zwischen deinen Punkten P1 und P3 liegt, sind auch die beiden Schenkel gleich lang. Gibt es einen Punkt S (5;8)

Du hast dann die zwei Strecken P1 S und S P3

Diese teilst du in viele gleich lange Abschnitte ein.

Ein Abschnitt hat dann die Länge

\( \sqrt{25+64} \)/(n+1)

Nun fängst du an die Punkte zu benennen.

Dazu gehst du von P1 bis S, A1 A2 usw bis An

Dann gehst du von S bis P3 weiter und benennst die Punkte B1 B2 B3  bis Bn

Nun zeichnest du die Strecke P1 B1 ein und die Strecke A1 P3, es entsteht der Schnittpunkt S1 das machst du

Für P1 B2  ; A2 P2 ; es entsteht S2

Immer weiter, bis der Punkt Sn entsteht.

P1 S1 S2 S3 ...Sn P3

Bilden dann ein Polygon, dessen Länge du aus der Summe der einzelnen Abschnitte berechnen kannst.

Das Problem dabei ist nur, dass je genauer du es errechnen willst, das n immer größer  werden muss, und du viele Schnittpunkte berechnen musst.

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Was ist denn heute mit mir los, schon wieder Blödsinn, streiche das mit den Schnittpunkten. Wenn du den Text im Link gelesen hast, dann müssen wir jetzt folgendes machen.

P1 A1 : P1 S = 1: n

nun verbinden wir A1 mit B1

auch da gilt

S B1: S B = 1 : n

Nun bilden wir S1 so, dass

A1 S1: A1 B1 = 1 : n

Wir bilden S2 zwischen A2 und B2 so, dass

A2 S2 : A2 B2 = 2 : n

..............

Wir bilden Sk zwischen Ak und Bk so, dass
Ak Sk : Ak Bk = k : n

k≤n

Wir müssen die Punkte also nur Proportional berechnen.

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Bezierkurve grad 2 ist ein Parabelbogen

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.sveneppler.de/fh/vm/Pr%25FCfungsvorbereitung/Zusammenfassung/Bezier-Kurven.pdf&ved=2ahUKEwjH-56ynLzrAhUSGewKHQzaBl4QFjAEegQIAhAB&usg=AOvVaw1qdq4_-DQFDRul3664pFwk

Die Funktion symmetrisch, wenn ich die y Achse in die Symmetrieachse verschiebe,

f (x)= - 0,16 x² + 4

Nun habe ich eine Formel für die Länge der Parabel f(x) = a* x²  gefunden.

Da das Vorzeichen vor a sich nicht auf die Länge auswirkt und 4 nur eine konstante Verschiebung bewirkt können wir also später a= 0,16 einsetzen

L = 1/4a ln (2ax + \( \sqrt{1+4a²x²} \)) +

0,5 x\( \sqrt{1+4a²x²} \) +c

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.edu.tum.de/fileadmin/tuedz01/www/Sch%25C3%25BClerkonferenz/Facharbeiten_2009/dueren_philipp_cc.pdf&ved=2ahUKEwimgJOwm7zrAhUHGuwKHV8UDeIQFjAAegQIBhAB&usg=AOvVaw2HE4keEDISSSTw6M-At7y8

Da für negative Beträge ln(x) nicht definiert ist, betrachten wir nur den halben Bogen von x=0 bis x=5 dafür setzen wir den Wert für a = 0,16 und x =5 ein und erhalten einen Wert A, dann setzen wir a=0,16 und x=0 ein

Und bekommen den Wert B

(A - B )*2 = Länge des Bogens

Answer 1

Ich kenne keine Bezierkurve, doch ich habe die Vermutung, dass folgendes gilt.

f'0)=0  ; f'(5)=0 ; f'(10) = 0

Die Funktion ist stetig differenzierbar , was auch für die Ableitung gilt. Sie sieht so ähnlich wie die Gaußsche Glockenform aus.

Ich denke an den Kosinus von -π bis π,

Nur, das diese Funktion um 1 in der y Richtung verschoben ist.

Comments

Hallo Hogar,

auf Formeln, die ich ungefähr so sehr verstehe wie Mandarin, bin ich auf meiner bisherigen Suche auch gestoßen. Die Bezierkurve stammt aus dem CAD und ist bei Wikipedia fachmännisch beschrieben. Für mich leider zu hoch.

Ich gebe zu, dass ich mir nicht anmaßen möchte, ein Ergebnis tatsächlich zu verstehen, hätte aber trotzdem gerne eines.

Lieben Dank!

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Gut, versuche ich es mal.

\( \int\limits_{-5}^{5} \) 2*(cos\( \frac{2π}{10} \)* x +1)dx

Sollte doch alle deine Bedingungen erfüllen, mit dem kleinen Unterschied, dass ich den Nullpunkt in die Symmetrieachse verschoben habe.

Jetzt muss du nur noch jemanden finden, der das Integral berechnen kann.

Answer 2

Das wird soooo einfach nicht sein. Numerische Integration:

Sollen Deine Angaben etwa zu folgender Bezierkurve passen?

Comments

Hallo Wächter,

Dein ".. sooo einfach nicht" beruhigt mich, ächz.

Deine Grafik liegt sehr dicht dran: Allein die Koordinaten für sind nicht 4/4 sondern 4/5, also 1 nach rechts verschoben.

Inzwischen weiß ich, dass hier wohl Aproximation eine Rolle spielt. Ein annäherndes Ergebnis wäre mir also auch schon eine Hilfe. Es geht um Kontrukdionszeichung für einen Schlosser.

Lieben Dank!

0,0idee

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Ach, knapp daneben. Wenn Dein B mittig ist könnte man eine Parabel fitten

da komm ich auf

\(f(x)=-\frac{2}{25} \; x^{2} + \frac{4}{5} \; x\)

damit der Bogen

\(\int\limits_{0}^{10}\sqrt{1 + \left|f'\left(x \right)\right|^{2}}\,\mathrm{d}x ≅ 10.982\)

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Hallo Wächter,

für deine Parabel gilt

f(5)=2

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Nun, er hat von einer Bezierkurve gesprochen und von Kontrollpunkten und danach hab ich die Kurve gebaut ===> StartKontrollpunkt - Kontrollpunkt - EndKontrollpunkt

Nun scheint er ja ganz einfach die Kurve durch die gegebenen Punkte zu jagen. Das war so nicht abgesprochen ;-)....

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Spielen wir doch einfach rum.

f(x) = sin (ax)

f'(x) = a cos(ax)

g(x) = 2/a sin(ax)

g'(x) = 2* cos(ax)

Da meine Funktion nicht zu deiner Kurve passt höre ich auf, fast fertig nur leider eine andere Beule.

Dann wollte ich auch noch die Fläche, statt der Bogenlänge berechnen.

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Nachtrag:

Kurve durch die Punkte führt auf

\(f(x)=-\frac{4}{25} \; x^{2} + \frac{8}{5} \; x\)

einsetzen in og. Integral

Das führt auf das Ergebnis von Gast jc2144

Answer 3

Hallo,

deinen Angaben zufolge ist das eine Parabel. Die dazugehörige Bogenlänge kann mithilfe der Integralrechnung analytisch ermittelt werden.
Das Ergebnis lautet hier:
L=√(89) 25/8 arcsin(8/5) ≈ 13.33

(Die Rechnung hierzu ist nicht trivial)

Comments

Hallo Gast jc2144,

lieben Dank! Das kommt meiner Bastelei mit der Bogenlänge eines Kreissegment mit einer Sekante von 10 und Radius 32.80 ziemlich nahe.

Vielen Dank und Erfolg bei richtigen Herausforderungen. Ich beneide Euch um Euer Abstraktionsvermögen und verabschiede mich wieder.