Wie schaut der Kern und der Rang für transponierte Matrizen aus?

Question

Aufgabe:

Sei $$A \in \mathbb{R}^{87 \times 53}$$ und $$Rang(A) = 33$$

Dann ist $$Rang(A^{T}) = ? $$und $$Dim(Kern(A^{T}))= ?$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass Folgendes gilt: 53 = Rang(A) + Dim(Kern(A)).

Aber wie sieht es für transponierte Matrizen aus?

Comments

\( \operatorname{Rang}(A^T) =\operatorname{Rang}(A) \)

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Perfekt, danke!

Answer 1

Aloha :)

Es gilt immer "Zeilenrang = Spaltenrang". Bei der Transposition einer Matrix werden lediglich Zeilen und Spalten vertauscht. Daher haben eine Matrix und ihre Transponierte stets denselben Rang.

Comments

Aber Kern ändert sich oder? Wie würde der Kern transponiert ausschauen?

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Ich vermute, dass Folgendes gilt:

87 = Rang(A) + Dim(Kern(A^T)).

87-33= Dim(Kern(A^T))

54 = Dim(Kern(A^T))