Beweise: Funktion kleiner auf [a,b] impliziert: bestimmtes Integral über [a,b] ist kleiner.

Question

Für \( f(x) \leq g(x) \quad x \in[a, b] \) soll ich zeigen, dass \( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \leq \int \limits_{a}^{b} g(x) d x \) folgt.

Reicht es dies zu zeigen?

Comments

Wenn eine Funktion im bestimmen Bereich stets kleiner als eine andere ist,
dann ist das Integral der Funktionen auch kleiner. Mal dir einmal 2 Graphen auf.

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Leider muss ich es aber nicht "nur" verstehen sondern auch noch beweisen.

Hast du vielleicht eine Idee, ob der Beweis oben gültig ist?

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Leider fällt mir nichts ein. Auch nach längerem Überlegen. Solltest du zu einem Beweis kommen kannst du ihn hier ja einmal mitteilen.

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Der erste Teil deiner Äquivalenzkette dürfte schwierig/unmöglich zu zeigen sein, wegen der (möglicherweise ungleichen) Integrationskonstanten. Die fallen erst raus, wenn man das bestimmte Integral berechnet. Lass daher das zweite in deiner Kette besser weg.

Argumentiere vielleicht direkt mit der Definition des bestimmten Integrals als Grenzzwert von Unter- und Obersummen. Du kannst z.B. die Breite der Intervalle (b-a)/n wählen.

Die Richtung <=== ist übrigens gar nicht zu zeigen und stimmt auch nicht.