Berechne für folgende Funktion die Extrempunkte

Question

Ich brauche eure Hilfe bei diesen Aufgaben! Das ist dass neue Thema in der Schule und bin noch nicht so gut darin :). Seid mir also bitte nicht böse, wenn ich öfters Fragen stelle. Ich bedanke mich schon mal im Voraus! (Es ist nur eine Aufgabe, die anderen habe ich schon)

Die Aufgabe:

Berechne für folgende Funktion die Extrempunkte. Verwende dabei das obige Schema.

d) f(x) = (x² - 2)²

Das Schema:

Schritt 1: Ableitung der Funktion → f'(x)

Schritt 2: Bestimmen der Nullstellen der Ableitung → f'(x) = 0, → mögliche Extremstellen x1, x2

Schritt 3: Zweite Ableitung bilden → f''(x)

Schritt 4: ALLE möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen, ob es sich um einen Extrempunkt handelt und ob dieser ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.

f''(x1) < 0 → Hochpunkt

f''(x1) = 0 → keine Aussage möglich, man muss höhere Ableitung bilden

f''(x1) > 0 → Tiefpunkt

Schritt 5: Extrempunkt berechnen

Ist zum bsp. f'(x1) = 0 und f''(x1) > 0 dann liegt bei x = x1 ein Tiefpunkt → TP (x1/f(x1))

Achtung: die Extremstelle x1 wird zur Berechnung des Extrempunktes in die Funktion und nicht in eine der Ableitung eingesetzt.

Comments

Welche Schritte des Schemas bereiten dir Schwierigkeiten?

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Also bei den vorherigen aufgaben habe ich es problemlos geschafft. Da das jetzt in der Klammer ist, habe ich keine Ahnung wie genau ich das machen soll.

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Multipliziere die Klammer aus und mach dann weiter.

Answer 1

Ich kann mir nur vorstellen, dass du die binomischen Formeln nicht mehr richtig kannst. Damit wirst du die Klammer los, bevor du irgendetwas ableitest. Danach die Anleitung dann einfach befolgen.

d) f(x) = (x² - 2)²            | 2. binomische Formel

f(x) = x^4 - 4 x^2 + 4     | Ableitung

f ' (x) = 4 x^3 - 8 x

Soweit einverstanden?

Zur Kontrolle dann z.B. einen Plott anschauen.

~plot~ (x^2 - 2)^2;{-sqrt(2)|0};{sqrt(2)|0};{0|4} ~plot~

Comments

Komme jetzt trotzdem bei dem 2. Schritt nicht weiter.

2. Schritt wäre ja:

4x³ - 8x = 0       I + 8x

12x³ = 8x

Jetzt habe ich auf beiden seiten ein x und das ist ja auch falsch

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4x³ - 8x = 0

Das ist eine kubische Gleichung. Die hat maximal 3 Lösungen. Um sie du finden kannst du faktorisieren.

4x³ - 8x = 0

4x * (x^2 - 2) =  0   | nun noch die 3. binomische Formel rückwärts

4x * (x - √2) ( x + √2) = 0

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Die Nullstellen der ersten Ableitung kann man ablesen. Es sind dies der Reihe nach x₁ = 0, x₂ = √(2) und x₃ = -√(2)

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Vielen dank, jetzt bin ich wieder drin :)

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Bitte. Gern geschehen!

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Warum wird hier die Binomische Formel benutzt? Das ist doch ungünstig, wenn wir mit der Kettenregel ableiten, müssen wir auch nicht erst faktorisieren, dann stehen die Faktoren doch schon da.

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@Hogar: Ich habe kein Problem mit binomischen Formeln. Vermutlich ist die Kettenregel noch nicht bekannt. Deine Antwort wird erst damit verständlich.

Answer 2

d) f(x) = (x² - 2)²

Das Schema:

Schritt 1: Ableitung der Funktion → f'(x)

f'(x) = 2*(x²-2)*2x

f'(x) = 4*(x²-2)*x

f'(x) = 4x³- 8x

Schritt 2: Bestimmen der Nullstellen der Ableitung → f'(x) = 0, → mögliche Extremstellen x1, x2
x₁=0  x₂= \( \sqrt{2} \)  x₃= - \( \sqrt{2} \)

Schritt 3: Zweite Ableitung bilden → f''(x)
f'(x) = 4x³- 8x

f"(x) = 12 x² - 8

Schritt 4: ALLE möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen, ob es sich um einen Extrempunkt handelt und ob dieser ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
f"(0) =  - 8

f''(x₁) < 0 → Hochpunkt

f"(x₂) = 12*2 - 8 =16 =f"(x₃)

f''(x₂) > 0 → Tiefpunkt

f''(x₃) > 0 → Tiefpunkt
Schritt 5: Extrempunkt berechnen

f(x₁) = (x² - 2)²= 4  (0 ; 4) HP

f(x₂) = (x² - 2)²= 0 = f ( x₃)

(\( \sqrt{2} \) ; 0 ) TP

(- \( \sqrt{2} \) ; 0 ) TP

Ist zum bsp. f'(x1) = 0 und f''(x1) > 0 dann liegt bei x = x1 ein Tiefpunkt → TP (x1/f(x1))