Wie groß ist der Fehler 2. Art? Hypothesen

Question

Aufgabe:

Es soll folgendes Hypothesenpaar für die normalverteilte Zuvallsvariable \( X \) auf einem Signifikanzniveau von \( 99 \% \) getestet werden \( \left(X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)\right) \)
$$ H_{0}: \mu=10 \quad \text { und } \quad H_{1}: \mu=13.8 $$
Aus einer Stichprobe mit 26 Beobachtungen der Zufallsvariable \( X \) wird ihr Durchschnitt berechnet. Man erhält \( \bar{x}=2.66 \).
Wie groß ist der Fehler 2 . Art, wenn Sie davon ausgehen können, dass die Varianz in der Population \( \sigma^{2}=400 \) beträgt? Eingabe bitte in Prozent.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie man den Fehler 2. Art berechnet, wenn solche Angaben gegeben sind.

Hier Eine ähnliche Frage, aber ohne Antwort: https://www.mathelounge.de/740848/wie-gross-ist-der-fehler-2-art

Comments

Ich hab es selber rausbekommen:

((2,66-13,8)*Wurzel(400))*Wurzel(26) = -2,84 → Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung einsetzen = 0,02 * 100 = 0,2%

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((2,66-13,8) / Wurzel(400))*Wurzel(26) = -2,84 → Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung einsetzen = 0,02 * 100 = 0,2%

EDIT: gleich am Anfang / statt *

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Wie bist du da auf Wurzel (26) gekommen?

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26 sind die Beobachtungen

Answer 1

Bin mir nicht sicher ob das richtig ist. Der Fehler 2. Art ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Alternative im Annahmebereich der Null Hypothese liegt.

Der Annahmebereich der Nullhypothese liegt links eines kritischen Wertes \( c \) für den gilt, $$ \Phi\left( \frac{c-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} } \right) = 1-\alpha $$ Mit den gegebenen Da6ten bekommt man \( c = 19.125 \)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Alternative im Annahmebereich der Nullhypothese liegt ist $$  \int_{-\infty}^c \varphi \left(x;\mu_1, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) dx = 0.9127 $$

Das heisst für den Mittelwert, die Nullhypothes kann nicht abgelehnt werden, aber die Wahrscheinlichkeit ist sehr hoch, dass die Nullhypothes falsch ist.

Man sieht es am Bild unten.

 

Comments

es sollte 0,2 rauskommen. Ich hab es inzwischen selber Rausbekommen, siehe Kommentar oben.

((2,66-13,8)*Wurzel(400))*Wurzel(26) = -2,84 → Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung einsetzen = 0,02 * 100 = 0,2%

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Scheint nicht richtig zu sein.

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((2,66-13,8) / Wurzel(400))*Wurzel(26) = -2,84 → Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung einsetzen = 0,02 * 100 = 0,2%

ich habe Mal statt Dividiert geschrieben, gleich am Anfang.

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Ich denke da ist was falsch. Entweder die vorgegebene Lösung oder der Aufgabentext. Du berechnest mit Deiner Formel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Mittelwert unter der Hypothese \( \mu = 13.8 \) kleiner ist als \( 2.66 \) unter Annahme einer Normalverteilung. Also

$$ P \left\{ \overline X \le 2.66 \right\}_{\mu = 13.8} = 0.0023 $$

Ein Fehler 1'ter Art berechnet sich so. Wenn \( U \) ein normalverteilter Parameter ist, gilt

$$ P \left\{ U > c \right\}_{\mu = \mu_0} = 1 - \alpha $$ Dabei ist \( \alpha \) die Signifikanzzahl des Tests. Der kritische Wert \( c \) berechnet sich aus dieser Gleichung. Ein Fehler 2'ter Art berechnet sich so $$ P\left\{ U \le c \right\}_{\mu=\mu_1} = 1 - \beta $$ \( 1 - \beta \) ist hier der Fehler 2'ter Art.

In Deinem Fall berechnet sich \( c \) wie beschrieben zu \( c = 19.25 \) und daraus ergibt sich $$ P\left\{ U \le c \right\}_{\mu=\mu_1} = 0.9127 $$

Daraus siehst Du, wo der Unterschied in den Berechnungen besteht. Du hast als Grenze den empirisch ermittelten Erwartungswert genommen. Richtig ist aber, dass der kritische Wert genommen werden muss. Außer es ist etwas anderes als der Fehler 2'ter Art gefragt.

Aus der Grafik siehst Du auch gut den Bereich, der überlappt. Und der ist nie und nimmer \( 0.2 \% \)