Unabhängigkeit von Vektoren

Question

Aufgabe:

Es gibt einen Satz für die lineare Unabhängigkeit.

Wenn Vektoren linear unabhängig sind, gibt es nur die ,,Nulllösung''.Das heißt, dass die Variablen nur null ergeben.

0=w×Vektor a+e×Vektor b+k×Vektor c

w=0, e=0 und k=0, dann sind sie linear unabhängig

Problem/Ansatz:

Warum ist das so und wie kommt man zu diesem Satz, dass nur null die Lösung ist?

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Wenn es dir gelingt, die Vektoren so aneinanderzufügen, dass du einen geschlossenen Weg bekommst, muss es eine Darstellung geben$$c_1\cdot\vec a_1+c_2\cdot\vec a_2+c_3\cdot\vec a_3+\cdots+c_n\cdot\vec a_n=\vec 0$$in der nicht alle Konstanten \(c_i\) gleich null sind. Da die Vektoren \(\vec a_1\) alle ungleich dem Nullvektor \(\vec 0\) sind, muss es mindestens 2 Konstanten \(c_i\ne0\) geben. Nehmen wir an \(c_1\) wäre eine solche Konstante, dann kannst du den Vektor \(\vec a_1\) durch alle anderen Vektoren ausdrücken, wie die umgestellte Gleichung zeigt:$$\vec a_1=\frac{-(c_2\cdot\vec a_2+c_3\cdot\vec a_3+\cdots+c_n\cdot\vec a_n)}{c_1}$$Bildlich gesehen wird aus dem geschlossenen Vektorzug ein Vektor mit Startpunkt S und Endpunkt E enfernt. Die verbliebenen Vektoren führen vom Punkt E zum Punkt S. Damit kann der entfernte Vektor durch alle anderen Vektoren beschrieben werden.