Weshalb wir k^3 zu —> k^2?

Question

Aufgabe:

Weshalb wir k^3 zu k^2?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

the
sn \( e_{k=1}^{n} \frac{1}{k 3} \) and frolleken rest Esn 3 neN strelg monoth SRE woonsend.
\( \frac{2}{2} \)

Comments

Damit du die Aufgaben besser verstehst, ist es sinnvoll, dass du die mathematischen Symbole deutlicher schreibst. Dein Summenzeichen sieht ziemlich gruselig aus. Die Exponenten und Indizes sollten kleiner geschrieben und deutlich hoch- bzw. tiefgestellt werden.

Gleichheitszeichen dürfen nicht vergessen werden und die Bruchstriche müssen lang genug gezeichnet werden.

:-)

Answer 1

Aloha :)

Hier wurde eine Abschätzung der Summe vorgenommen:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^3}\le\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$$Da die Summe von \(k=1\) bis \(k=n\) läuft, ist \(k\ge1\). Wenn man nun \(\frac{1}{k^3}\) mit einer Zahl \(\ge1\) multipliziert, kommt etwas heraus, was größer ist:$$\frac{1}{k^3}\cdot\underbrace{ k}_{\ge1}\ge\frac{1}{k^3}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{k^2}\ge\frac{1}{k^3}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{k^3}\le\frac{1}{k^2}$$Jeder Summand \(\frac{1}{k^3}\) ist kleiner als sein Pendant \(\frac{1}{k^2}\), daher gilt die obige Ungleichung.