Eindeutigkeit des Hermite - Interpolationspolynoms

Question 1

ich versuche gerade diesen Beweis der Eindeutigkeit des Hermite-Interpolationspolynoms zu verstehen:

"Die Eindeutigkeit dieses Polynoms lässt sich leicht zeigen: Sei q ein weiteres Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2*n+1 mit q(x_i)=y_i und q´(x_i)=y_i´ für alle i = 0,...,n. Dann ist das Polynom p-q vom Grad kleiner oder gleich 2*n+1 mit doppelten Nullstelen x_0,...,x_n. Damit muss dann p=q gelten."

Mir ist ehrlich gesagt schon nicht klar, warum p-q doppelte Nullstellen hat, und die Schlussfolgerung, dass dann Gleichheit gilt, verstehe ich leider auch nicht. Vielleicht sieht es ja jemand von euch :)

LG

Question 2

Sei $ f(x) = p(x) - q(x) $ dann gilt $ f(x_i) = 0 $ und $ f'(x_i) = 0 $.

Deshalb gilt $ f(x) = (x-x_i) g(x) $ und

$ f'(x) = g(x) + (x-x_i) g'(x) $. Also gilt $ f'(x_i) = g(x_i) = 0 $ also gilt $ g(x) = (x-x_i) h(x) $

In Summe ergibt sich für die $ n+1 $ Nullstellen, das gilt $$ f(x) = (x-x_i)^2 h(x) $$ D.h. aber, dass es $ 2n + 2 $ Nullstellen von $ f(x) $ gibt. Da der $ \text{Grad}(f) \le 2n+1 $ gilt, geht das nur, wenn $$ f(x) = 0 $$ gilt, also $$ p(x) = q(x) $$

Question 3

Super ,danke dir :)

ullim · Answer 1 · 2020-09-03T13:29:21+0000

Sei $ f(x) = p(x) - q(x) $ dann gilt $ f(x_i) = 0 $ und $ f'(x_i) = 0 $.

Deshalb gilt $ f(x) = (x-x_i) g(x) $ und

$ f'(x) = g(x) + (x-x_i) g'(x) $. Also gilt $ f'(x_i) = g(x_i) = 0 $ also gilt $ g(x) = (x-x_i) h(x) $

In Summe ergibt sich für die $ n+1 $ Nullstellen, das gilt $$ f(x) = (x-x_i)^2 h(x) $$ D.h. aber, dass es $ 2n + 2 $ Nullstellen von $ f(x) $ gibt. Da der $ \text{Grad}(f) \le 2n+1 $ gilt, geht das nur, wenn $$ f(x) = 0 $$ gilt, also $$ p(x) = q(x) $$

Eindeutigkeit des Hermite - Interpolationspolynoms

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