Hermite-Polynome:
\( H_{n} = (-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n} e^{-x^{2}}}{d x^{n}} \)
(dabei ist \( \frac{d^{n} e^{-x^{2}}}{d x^{n}} \) die n-te Ableitung von \( \left.e^{-x^{2}}\right) \)
a) Berechnen Sie \( \mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1}, \mathrm{H}_{2}, \mathrm{H}_{3} \) und zeigen Sie, dass \( \left\{\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1}, \mathrm{H}_{2}, \mathrm{H}_{3}\right\} \) eine Basis des \( \mathbb{R} \)-Vektorraums \( \mathbb{R}[X]=3 \) der Polynome mit Koeffizienten in \( \mathbb{R} \) und \( \operatorname{Grad} \leqslant 3 \) ist.
b) Geben Sie die Darstellungsmatrizen \( _{h}id_{E} \) und \( _{E}id_{H} \) an, wobe E die Basis \( \left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} \) ist.
