Zeigen, dass Polynome eine Basis des Vektorraums bilden

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathcal{P}_{2} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 2 über \( \mathbb{R} \).
a) Beweisen Sie, dass die Polynome \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \) mit
\( P_{1}(x)=2 x^{2}+x+1, \quad P_{2}(x)=4 x^{2}+x \text { und } P_{3}(x)=-2 x^{2}+2 x+1 \)
eine Basis von \( \mathcal{P}_{2} \) bilden.

Problem/Ansatz:

Wie genau zeige ich das hier ganz formal? Also ich sehe, dass ich durch diese Polynome jedes Polynom vom Grad <2 erzeugen kann. Die triviale Basis wäre doch hier {x⁰, x¹, x² }

Aber wie ist hier nun der formale Beweis?

Muss ich hier zeigen, dass ich den Nullvektor, also 0? nur erzeugen kann, wenn alle x = 0 sind?

Answer 1

Hallo :-)

Ich suche Koeffizienten \(\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}\), sodass die Gleichung

$$  a\cdot x^2 + b\cdot x + c = \alpha\cdot (2 x^{2}+x+1) + \beta\cdot (4 x^{2}+x) + \gamma\cdot (-2 x^{2}+2 x+1) $$

erfüllt ist. Zunächst ist:

$$ \alpha\cdot (2 x^{2}+x+1) + \beta\cdot (4 x^{2}+x) + \gamma\cdot (-2 x^{2}+2 x+1)\\=(2\cdot \alpha\cdot x^2+\alpha\cdot x+\alpha)+(4\cdot \beta\cdot x^2+\beta\cdot x)+(-2\cdot \gamma\cdot x^2+2\cdot \gamma\cdot x+\gamma)\\=\underbrace{(2\cdot \alpha+4\cdot \beta-2\cdot \gamma)}_{\stackrel{!}{=}a}\cdot x^2+\underbrace{(\alpha+\beta+2\cdot \gamma)}_{\stackrel{!}{=}b}\cdot x+\underbrace{(\alpha+\gamma)}_{\stackrel{!}{=}c} $$

Ich betrachte also folgendes Lineares Gleichungssystem:

$$\begin{aligned}I&\qquad 2\cdot \alpha+4\cdot \beta-2\cdot \gamma&=a\\II&\qquad \alpha+\beta+2\cdot \gamma&=b\\III&\qquad \alpha+\gamma&=c\end{aligned}$$

oder in Matrix-Vektor-Schreibweise:

$$ \begin{pmatrix}2&4&-2\\1&1&2\\1&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} $$

bzw.

$$ \left(\begin{array}{ccc|c}2&4&-2&a\\1&1&2&b\\1&0&1&c\end{array}\right) $$

Daraus erhalte ich

$$\alpha=\frac{1}{8}\cdot (a-4b+10c)\\\beta=\frac{1}{8}\cdot (a+4b-6c)\\\gamma=\frac{1}{8}\cdot (-a+4b-2c)$$

Probe:

$$\alpha\cdot (2 x^{2}+x+1) + \beta\cdot (4 x^{2}+x) + \gamma\cdot (-2 x^{2}+2 x+1)\\=\frac{1}{8}\cdot (a-4b+10c)\cdot (2 x^{2}+x+1) + \frac{1}{8}\cdot (a+4b-6c)\cdot (4 x^{2}+x) + \frac{1}{8}\cdot (-a+4b-2c)\cdot (-2 x^{2}+2 x+1)\\=\frac{1}{8}\cdot (2ax^2+ax+a-8bx^2-4bx-4b+20cx^2+10cx+10c)\\ +\frac{1}{8}\cdot (4ax^2+ax+16bx^2+4bx-24cx^2-6cx)\\+\frac{1}{8}\cdot (2ax^2-2ax-a-8bx^2+8bx+4b+4cx^2-4cx-2c)=ax^2+bx+c$$

Damit gibt es für jedes Polynom \(ax^2+bx+c\) eine Darstellung als Linearkombination über die Polynome \(P_1,P_2,P_3\). Also ist \((P_1,P_2,P_3)\) ein Erzeugendensystem von \(\mathcal{P}_2\). Für das Nullpolynom \(0=0\cdot x^2+0\cdot x+0\in \mathcal{P}_2\) erhält man aus der Lösung des obigen Linearen Gleichungssystems, dass

$$\alpha=\frac{1}{8}\cdot (0-4\cdot 0+10\cdot 0)=0\\\beta=\frac{1}{8}\cdot (0+4\cdot 0-6\cdot 0)=0\\\gamma=\frac{1}{8}\cdot (-0+4\cdot 0-2\cdot 0)=0$$

gilt. Also ist \((P_1,P_2,P_3)\) linear unabhängig und damit eine Basis von \(\mathcal{P}_2\).

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!

Answer 2

Bezgl. der geordneten Basis \((x^2,x,1)\) haben die drei Polynome

die Koordinatenzeilenvektoren \((2,1,1),(4,1,0),(-2,2,1)\).

Diese sind linear unabhängig, bilden also als maximal linear unabhängige

Menge eine Basis, wenn die aus ihnen gebildete Matrix den

Rang 3 hat. Elementare Zeilenumformungen:$$\left(\begin{array}{rrr}2&1&1\\4&1&0\\-2&2&1\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{rrr}2&1&1\\0&-1&-2\\0&3&2\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{rrr}2&1&1\\0&-1&-2\\0&0&-4\end{array}\right)$$

Diese Matrix hat offenbar den Rang 3, q.e.d.

Comments

Danke! Das ist glaub ich die anschaulichste Lösung. Aber hier fehlt noch die lineare Unabhängigkeit, oder? Das kriege ich aber hin denke ich!

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Wenn die Zeilenvektoren linear abhängig wären, dann wäre

der Rang \(\leq 2\). Rang\(=3\) besagt, dass der von den Zeilen

aufgespannte Raum die Dimension 3 hat,

also der ganze Raum ist. Damit müssen die

Zeilen ja linear unabhängig sein.

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Ah okay, das wusste ich nicht. Ist es auch legitim das so zu zeigen?

0 = α*P1 + β*P2 + γ*P3

\(\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 2\\2 & 4 & -2\end{array}\right)\) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Daraus folgt ja dann, dass α = 0, β = 0 und γ = 0 sind.

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Nein. Das gibt keinen Sinn. Warum sollte eine 3x3-Matrix

ein Nullvektor sein können.

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Wenn die Summanden aus der Gleichung oben 0 sind, dann ist auch die Summe 0. Das war das was ich mir dabei gedacht habe. Aber da ist der Aspekt der linearen Unabhängigkeit dann nicht mehr gegeben oder?

Das soll auch kein Nullvektor sein, sondern im Gauß stehen.

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Du kannst nicht die Matrix gleich einem Vektor setzen.

Aber warum willst du denn überhaupt noch etwas zeigen.

Dass die Matrix den maximalen Rang hat, ist äquivalent

zu der Tatsache, dass ihre Zeilen ein Basis bilden.

Kein "linearer Algebraiker" wird daran zweifeln.

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Die Nullen sollen im Gauß stehen, wusste nicht wie das geht

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Vielleicht mache ich mir einfach über etwas Gedanken, was keinen weiteren Gedanken bedarf

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Den "Rechteseitevektor" musst du nicht mitschleppen,

der verändert sich doch - wenn er der Nullvektor ist -

bei Gauss gar nicht.

Und den Anfang von Gauss habe ich ja bereits mit den elementaren

Umformungen durchgeführt.

Schau dir doch bei Gelegenheit mal die Sätze an, die die

verschiedenen Aussagen, wann etwas eine Basis, zusammenfassen,

z.B.

1. eine maximal linear unabhängiges System ist eine Basis,

2. ein minimales Erzeugendensystem ist eine Basis

Mein Ziel ist es, möglichst wenig zu rechnen, da ja

bekanntermaßen Mathematiker "faul" sind.

Answer 3

Bestimme \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) in der Gleichung

        \(ax^2 + bx + c = \alpha_1\left(2 x^{2}+x+1\right) + \alpha_2\left(4 x^{2}+x\right) + \alpha_3\left(-2 x^{2}+2 x+1\right)\).

Tipp. Die Polynome \(ax^2 + bx + c\) und \(px^2+  qx + r\) sind genau dann gleich, wenn

        \(\begin{aligned}a&=p\\b&=q\\c&=r\end{aligned}\)

ist.

Comments

Damit kann ich gar nichts anfangen... :( Wieso muss die Gleichung dafür gelöst werden?

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Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge, mit deren Vektoren man jeden Vektor des Vektorraumes als Linearkombination darstellen kann.

Auf die linke Seite obiger Gleichung kannst du jeden Vektor von \(\mathcal{P}_2\) hinschreiben, indem du Zahlen für \(a\), \(b\) und \(c\) einsetzt.

Auf der rechten Seite steht eine Linearkombination von \(\{P_{1}, P_{2}, P_{3} \}\).

Weil die Gleichung eine Lösung hat, kann jeder Vektor des Vektorraumes als Linearkombination von \(\{P_{1}, P_{2}, P_{3} \}\) dargestellt werden. Also ist \(\{P_{1}, P_{2}, P_{3} \}\) ein Erzeugendenssystem von \(\mathcal{P}_2\).

Weil es für jedes \(a,b,c\) nur eine einzige Lösung gibt, kann insbesondere der Nullvektor nur auf eine einzige Art als Linearkombination von \(\{P_{1}, P_{2}, P_{3} \}\) dargestellt werden. Also ist \(\{P_{1}, P_{2}, P_{3} \}\) linear unabhängig.

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Das verstehe ich soweit. Danke! Gibt es zur Lösung dieser Gleichung noch eine andere Methode als die von Tschakabumba gezeigte mit der Inversen Matrix?

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Rechte Seite der Gleichung ausmultiplizieren und zusammenfassen. Dann Koeffizientenvergleich wie in dem Tipp beschrieben. Dann hast du ein lineares Gleichungssystem.

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Dann habe ich

\(\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 2\\2 & 4 & -2\end{array}\right)\) = \( \begin{pmatrix} c\\b\\a \end{pmatrix} \)

?

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Ich verstehe nicht so recht was mit der rechten Seite geschehen soll

Answer 4

Aloha :)

Du musst zeigen, dass du alle Polynome der Form \(a+bx+cx^2\) als Linearkombination von \(P_1(x)\), \(P_2(x)\) und \(P_3(x)\) schreiben kannst. Dazu kannst du ausnutzen, dass diese 3 Polynome in der Standardbasis \(S=(1;x;x^2)\) angegeben sind. Die Übergangsmatrix von der Basis \(P=(P_1;P_2;P_3)\) in die Standardbasis \(S\) kannst du daher direkt angeben:$${_S}\mathbf{id}_P=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 2\\2 & 4 & -2\end{array}\right)$$Die inverse Matrix dazu ist die Übergangsmatrix von \(S\) nach \(P\):$${_P}\mathbf{id}_S=\left(\begin{array}{rrr}\frac54 & -\frac12 & \frac18\\[1ex]-\frac34 & \frac12 & \frac18\\[1ex]-\frac14 & \frac12 & -\frac18\end{array}\right)$$

Damit hast du folgende Darstellung gefunden:$$1=\frac54P_1(x)-\frac34P_2(x)-\frac14P_3(x)$$$$x=-\frac12P_1(x)+\frac12P_2(x)+\frac12P_3(x)$$$$x^2=\frac18P_1(x)+\frac18P_2(x)-\frac18P_3(x)$$

Damit bilden die Polynome \(P_{1,2,3}(x)\) eine Basis.

Comments

Hi, erstmal danke für deine Antwort. Also ich versuche mal deiner Lösung zu folgen:

1) \( \begin{pmatrix} x0\\x1\\x2 \end{pmatrix} \) das ist die Form der Matrix

2) Um auf \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

zu kommen, muss ich die Inverse bilden. Das resultiert daraus, dass ich dann ja

1x0 + 1x1 + 1x2 habe?

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In der \(P\)-Basis symbolisiert der Vektor \((1;0;0)_P\) das Polynom \(P_1(x)=2x^2+x+1\). Dieses wird in der Standardbasis durch den Vektor \((1;1;2)\) beschrieben. Daher ist das die erste Spalte in der Transformationsmatrix von \(P\) nach \(S\). Die beiden anderen Spalten werden entsprechend gebildet.

Um nun von \(S\) nach \(P\) zu transformieren, brauchst du die Matrix einfach nur zu invertieren. Der Vektor \((1;0;0)\) der Standradbasis liefert den Vektor \((\frac54;-\frac34;-\frac14)_P\) in der \(P\)-Basis.

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In der \(P\)-Basis symbolisiert der Vektor \((1;0;0)_P\) das Polynom \(P_1(x)=2x^2+x+1\).

Das verstehe ich nicht... Tut mir wirklich leid, aber ich finde im Vorlesungsskript auch wieder überhaupt nichts dazu.