Bernstein - Basis des Vektorraums

Question

Die Polynome
b_i,d(x) =  (^d _i) xⁱ (1 − x)^d−i   für i = 0, . . . , d.

bilden die Bernstein-Basis des Vektorraums R[x]_<=d aller Polynome vom Grad höchstens d.
Berechnen Sie für d = 4 die darstellende Matrix des Differentialoperators
 
bezüglich der Bernstein-Basis.

Meine Idee: zuerst alle Bernsteinpolynome berechnen, dann die Ableitungen von denen berechnen. Ist das richtig? Wenn ja, wie schreibt man das ordentlich?

Answer 1

Richtig.

Einfach bi,4(x) berechnen für i=0,...,4

Jeweils dazu b' bilden 

1. Spalte: ...

2. Spalte: ...

.

.

.

Mat 5x5 = ...

Weißt du, wie man dann die darstellende Matrix berechnet bzw. aufstellt?

Comments

Arbeite auch grade an der Aufgabe, weiß zwar wie ich bi,4 i= 0,...,4 bilde, aber nicht wie ich dann für b' auf 5Spalten komme.

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Dazu gibt es ein Beispiel im Skript. 

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Ja, aber durch die Ableitung, fällt bei mir das letzt Glied ohne x weg und somit wäre, für mich, die letzte Spalte voll Nullen.

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Du musst die Ableitung durch b0,4 b1,4 ,... darstellen. Quasi für die erste Spalte: x*b0,1+y*b1,4*+z*... usw. die Koeffizienten x,y,z,a,b stellen deine Spalten dar. 

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Ja, ich weiß wies funktioniert, komme nur halt nicht auf eine fünfte Spalte. 

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Weil wie du im Skript siehst, hat b0,3 (x) eine +1 am Ende, diese fällt durch die Ableitung weg, somit würde aus dieser Spalte auch eine vollständige Nullspalte werden.

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Klinke mich auch mal ein in die Reihe der TU Studenten :D

Habe jetzt b0,4 bis b4,4 ausgerechnet.

Dabei kommt bei mir folgendes raus:

b0,4=...=(1-x)^4

b1,4=4x(1-x)^3

b2,4=6x²(1-x)²

b3,4=4x³(1-x)

b4,4=x^4

Bin ich damit soweit auf dem richtigen Weg?
Wenn ja, wie geht es weiter?

Besten Dank schonmal.

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Davon bildest du die Ableitung wie es ja in der Aufgabenstellung steht. 

Dann schaust du:

Wie kann ich mithilfe von b0,4 bis b4,4 die erste Ableitung darstellen? Bilde Linearkombinationen. 

Das schaut dann so aus:

Als Beispiel für die erste Spalte:

a*b0,4+b*b1,4+c*b2,4+d*b3,4+e*b4,4=-4(1-x)^3  

Rechts ist die Ableitung von b0,4 wie du siehst. 

Und das machst du für alle 5 Ableitungen. 

Am Ende solltest du eine Matrix belommen, die dann so ausschaut:

 a a a a a

 b b b b b

 c c c c c 

 d d d d d

 e e e e e

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Super, vielen Dank. Hatte mir gerade mit Hilfe des Skripts den Weg zu diesem Schritt bereitet. 

Gibt es eine schnelle Möglichkeit, die Koeffizienten zu erkennen? Ich habe leider echt keinen Blick für sowas.

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Verrate mir doch bitte trotzdem, was in deiner letzten Spalte steht. 

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Letzte Spalte: 

0

0

0

d

e

Ausrechnen solltest du schon selbst. 

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0 0 0 4 -4? Würde meiner 4ten Spalte entsprechen

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Wenn du meinst, dass das richtig ist und du es geprüft hast..

Du erhältst keine Nullspalte. 

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Deine Lösung für die letzte Spalte ist übrigens falsch. Du erhältst damit nicht b4,4