Bestimmen Sie eine Basis des R-Vektorraums

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N. Bestimmen Sie eine Basis des R-Vektorraums U₃ = {(x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ | x₁ + . . . + x_n = 0}

Wie geht man diese Aufgabe an?

Answer 1

Hallo

da du nur eine Bedingung hast , hat U die Dimension n-1

also find n-1 lin unabhängig Vektoren die der Bedingung gegen.

(1,-1,0-------,0) ist ein guter Anfang, danach (1,0,-1,0......0) kommst du damit weiter

lul

Answer 2

Du kannst hier ja die ersten (n-1) Variablen beliebig wählen a₁, a₂ etc und dann für

x_n = -a₁ -a₂ -.... -a_n-1 einsetzen

Der Lösungsvektor x sieht dann so aus

x = ( a1 , a2 , ...., a_n-1 , -a₁ -a₂ -.... -a_n-1  )

oder eben so

x = a₁*(1,0,0,...,0,-1) + a₂*(0,1,0,0,...,0,-1) + ....+ a_n-1*(0,0,0,...,1,-1).

Und die darin vorkommenden Vektoren erzeugen den ganzen Lösungsraum

und sind lin. unabh., also bilden sie eine Basis.