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Betrachten Sie den Vektorraum \( \mathbb{R}_{n}[x] \) aller reellen Polynome bis zum Grad \( n \in \mathbb{N} \) mit der gewöhnlichen Polynomaddition und Skalarmultiplikation.
(a) \( \mathrm{Zu} \) paarweise verschiedenen reellen Zahlen \( \alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \) seien die Polynome \( p_{0}(x) \), \( p_{1}(x), \ldots, p_{n}(x) \in \mathbb{R}_{n}[x] \) definiert als
\( p_{i}(x)=\prod \limits_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-\alpha_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}=\frac{x-\alpha_{0}}{\alpha_{i}-\alpha_{0}} \cdots \frac{x-\alpha_{i-1}}{\alpha_{i}-\alpha_{i-1}} \cdot \frac{x-\alpha_{i+1}}{\alpha_{i}-\alpha_{i+1}} \cdots \frac{x-\alpha_{n}}{\alpha_{i}-\alpha_{n}} . \)
Zeigen Sie, dass die Polynome \( p_{0}(x), p_{1}(x), \ldots, p_{n}(x) \) eine Basis von \( \mathbb{R}_{n}[x] \) bilden.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \( p_{i}\left(\alpha_{k}\right)=\delta_{i, k} \) ist, wobei \( \delta_{i, k}=1 \), wenn \( i=k \) und \( \delta_{i, k}=0 \), wenn \( i \neq k \).
Sei \( \mathrm{n} \) ungerade.
(b) Betrachten Sie die Menge \( U \subset \mathbb{R}_{n}[x] \) aller Polynome \( q(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} \in \mathbb{R}_{n}[x] \) mit der Eigenschaft \( a_{k}=a_{n-k} \) für alle \( k=1, \ldots, n \). Ist \( U \) ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}_{n}[x] \) ? Geben Sie ggf. eine Basis von \( U \) an und dessen Dimension.
(c) Betrachten Sie die Menge \( W \subset \mathbb{R}_{n}[x] \) aller Polynome \( q(x) \in \mathbb{R}_{n}[x] \) mit der Eigenschaft \( q(x)+q(-x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Ist \( W \) ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}_{n}[x] \) ? Geben Sie
Aufgabe:
Problem/Ansatz: ich habe keine idee
