Eindeutigkeit des Hermite - Interpolationspolynoms

Question

ich versuche gerade diesen Beweis der Eindeutigkeit des Hermite-Interpolationspolynoms zu verstehen:

"Die Eindeutigkeit dieses Polynoms lässt sich leicht zeigen: Sei q ein weiteres Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2*n+1 mit q(x_i)=y_i und q´(x_i)=y_i´ für alle i = 0,...,n. Dann ist das Polynom p-q vom Grad kleiner oder gleich 2*n+1 mit doppelten Nullstelen x_0,...,x_n. Damit muss dann p=q gelten."

Mir ist ehrlich gesagt schon nicht klar, warum p-q doppelte Nullstellen hat, und die Schlussfolgerung, dass dann Gleichheit gilt, verstehe ich leider auch nicht. Vielleicht sieht es ja jemand von euch :)

LG

Answer 1

Sei \( f(x) = p(x) - q(x) \) dann gilt \( f(x_i) = 0 \) und \( f'(x_i) = 0 \).

Deshalb gilt \( f(x) = (x-x_i) g(x) \) und

\( f'(x) = g(x) + (x-x_i) g'(x) \). Also gilt \( f'(x_i) = g(x_i) = 0 \) also gilt \( g(x) = (x-x_i) h(x) \)

In Summe ergibt sich für die \( n+1 \) Nullstellen, das gilt $$ f(x) = (x-x_i)^2 h(x)  $$ D.h. aber, dass es \( 2n + 2 \) Nullstellen von \( f(x) \)  gibt. Da der \( \text{Grad}(f) \le 2n+1 \) gilt, geht das nur, wenn $$ f(x) = 0 $$ gilt, also $$ p(x) = q(x) $$

Comments

Super ,danke dir :)