Hallo, ich frage mich, ob der Übegang von der dritten zur vierten Zeile trivial ist, da hier ja anscheinend (siehe Integrationsgrenzen) keine Substitution gemacht wurde. Ich habe das so gemacht und es hat auch eigentlich alles gut funktioniert, aber die Lösungen lassen ja irgendwie erahnen, dass es auch einfacher geht. Ich weiß, dass das Integrieren der Dichtefunktion zur Verteilungsfunktion führt, dennoch liegt ja eine Verkettung (xφ(x), siehe dritte Zeile vor) weshalb ich das hier ja nicht einfach vertauschen darf.
\( -\frac{1}{\alpha} \int \limits_{0}^{\alpha} a+\sigma \Phi^{-1}(\beta) \mathrm{d} \beta \)
\( =-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{0}^{\alpha} \Phi^{-1}(\beta) \mathrm{d} \beta \)
\( =-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{-\infty}^{\Phi^{-1}(\alpha)} x \varphi(x) \mathrm{d} x \)
\( =-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{-\infty}^{\Phi^{-1}(\alpha)} \frac{x}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \)
\( =-\frac{\sigma}{\alpha}\left[-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\right]_{x=-\infty}^{\Phi^{-1}(\alpha)} \)
MfG
Pizzaboss
