Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von UA

Question

Aufgabe:

Sei \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}  \) und \( U_A := \{ B \in \mathbb{R}^{n \times n} | BA = AB \}  \).

a) Sei \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \). Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von \( U_A \).

Problem/Ansatz:

Also, ich bin mir nicht sicher, wie man eine Basis bzw. die Dimension einer Menge von Matrizen bestimmt, aber was ich weiß, ist, dass die Matrix B folgendermaßen ausschauen muss, damit BA = AB gilt:\(B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a\end{pmatrix} \) für \(a,c \in \mathbb{R}\).

Kann mir jemand bei der Lösung dieses Problems helfen?

Answer 1

Aloha :)

Ich gehe davon aus, dass die Matrix \(B\) korrekt ist. Du erkennst in der Matrix 2 Freiheitsgrade, denn sie hat 2 Parameter, die du unabhängig voneinander wählen kannst. Der Vektorraum \(U_A\) hat daher 2 Dimensionen:$$B=\begin{pmatrix}a & 0\\c & a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$$Als Basis kannst du z.B. angeben:$$\operatorname{Basis}(U_A)=\left(\;\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\,;\,\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}\;\right)$$