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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir betrachten die Matrix:\(\quad A=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\)
Hier musst du eigentlch nur \(A^2\) tatsächlich ausrechnen:$$A^2=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}\green{0} & \red{-1}\\\green1 & \red0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r|r}\green0\!\cdot\!\binom{0}{1}+\green{1}\!\cdot\!\binom{-1}{0} & \red{(-1)}\!\cdot\!\binom{0}{1}+\red{0}\!\cdot\!\binom{-1}{0}\end{array}\right)$$$$\phantom{A^2}=\left(\begin{array}{rr}-1 & 0\\0 & -1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=-\mathbf{1}$$\(A^2\) ist also die 2x2-Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) mit negativem Vorzeichen.
Da die Multiplikation einer Matrix \(M\) mit der Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) an der Matrix nichts ändert, sind die anderen geforderten Potenzen klar.$$A^3=A^2\cdot A=-\mathbf 1\cdot A=-A=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\-1 & 0\end{array}\right)$$$$A^4=A^2\cdot A^2=(-\mathbf 1)\cdot(-\mathbf 1)=\mathbf 1$$
Wir fassen zusammen:\(\quad A^2=-\mathbf 1\quad;\quad A^3=-A\quad;\quad A^4=\mathbf 1\)
Die Matrix \(A\) ist invertierbar, denn$$A^4=\mathbf 1\implies A^3\cdot A=\mathbf 1\implies(-A)\cdot A=\mathbf 1$$$$A^4=\mathbf 1\implies A\cdot A^3=\mathbf 1\implies A\cdot(-A)=\mathbf 1$$Die Inverse zur Matrix \(A\) ist \((-A)\).
Rein Formal kannst du die Invertierbarkeit einer Matrix mit ihrer Determinante überprüfen. Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das ihre Spaltenvektoren aufspannen. Wenn die Determinante \(=0\) ist, wird der \(n\)-dimensionale Raum von den Spaltenvektoren nicht vollständig aufgespannt. Du verlierst dann von den \(n\) Dimensionen eines Eingangsvektors die Information über mindestens 1 Dimension. Diese Information fehlt dir dann für eine mögliche Rücktransformation.
Merke: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist.
Im Teil (b) sollen wir einen Teilraum näher betrachten$$T=\operatorname{span}(A,A^2,A^3,A^4,A^5,A^6,A^7,A^8,A^9,A^{10})$$Die ersten 4 Elemente haben wir in Teil a) schon bestimmt. Es fehlen noch:$$A^5=A^4\cdot A=\mathbf 1\cdot A=A$$$$A^6=A^4\cdot A^2=\mathbf 1\cdot(-\mathbf 1)=-\mathbf 1$$$$A^7=A^4\cdot A^3=\mathbf 1\cdot(-A)=-A$$$$A^8=A^4\cdot A^4=\mathbf 1\cdot\mathbf 1=\mathbf 1$$$$A^9=A^8\cdot A=\mathbf 1\cdot A=A$$$$A^{10}=A^8\cdot A^2=\mathbf 1\cdot(-\mathbf 1)=-\mathbf 1$$
Das tragen wir oben ein:$$T=\operatorname{span}(A,(-\mathbf 1),(-A),\mathbf 1,A,(-\mathbf 1),(-A),\mathbf 1,A,(-\mathbf 1),(-A))$$schmeißen die Doppelten raus:$$T=\operatorname{span}(A,(-\mathbf 1),(-A),\mathbf 1)$$und entfernen alle Elemente, die bis auf einen konstanten Faktor mit einem anderen Element übereinstimmen:$$T=\operatorname{span}(A,\mathbf 1)$$
Die Matrix \(A\) und die Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) lassen sich nicht durch die Multiplikation von einer der beiden mit einem Faktor in die andere überführen, sind also linear unabhängig. Der Teilraum \(T\) hat also zwei Basis-Elemente (in diesem Fall Matrizen) und die Dimension \(2\).
