Nullstellenberechnung im R^2

Question

Hat die Funktion f(x,y)=xy nur Nullstellen für x=y=0 oder hat sie unendlich viele?

Also kann ich für x bzw. y beliebige Werte annehmen?

Freundliche Grüße :-)

Answer 1

Es kommt auf die Funktion an.

Die Funktion f(x,y)= x+y

hat auch unendlich viele Nullstellen,

f(0;0) =0 ; doch es gilt auch mit

y=-x wird f(x;y)=0

Die Funktion g(x ) = x* \( e^{y} \) hat hingegen nur bei x=0 eine Nullstelle, doch es sind unendlich viele, da y ja beliebig sein kann.

Die Funktion h(x;y) = \( x^{y} \)

hat unendlich viele Nullstellen, wenn x=0,

Doch h(0;0)=1 so sagte es zumindest Leibniz.

Comments

Die Funktion f(x,y) = xy war doch gegeben.

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Super. Auch Ihnen vielen Dank für die Antwort, Hogar :-)

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@Mathecoach

stimmt, doch ich wollte es trotzdem loswerden, aber bei der Gelegenheit kann ich ja mal fragen, ob der alte Leibniz nach heutiger Sicht recht hat denn Wikipedia behauptet, dass

\( 0^{0} \) =0

Leiniz sagt

\( 0^{0} \) =1

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\(0^0\) ist nicht definiert.

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Also ist die Definition von Leibniz nicht mehr gültig.

https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=2500375931829356481

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Nein, sie ist nicht gültig. Diese Festlegung birgt Widersprüchlichkeiten. Daher lässt man 0^0 undefiniert.

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\(x^0=1\) für \(x>0\)

\(0^x=0\) für \(x>0\)

Für \(x\to0\) ist die Grenzwertbildung offensichtlich schwierig.

Als Kompromiss könnte man sich auf \(0^0=\frac{1}{2}\) einigen ;)

Die Vereinbarung \(0^0=1\) wird manchmal in Vorlesungen getroffen, weil sie insbesondere den Umgang mit Potenzreihen vereinfacht. Als Begründung kann man folgende Idee anführen:

Wegen \(a^x=e^{x\ln a}\) für \(a>0\) ist \(x^x=e^{x\ln x}\) für \(x>0\):

$$0^0=\lim\limits_{x\searrow0}e^{x\ln x}=e^0=1$$Aber als \(0^x\) würde ich mich hier diskriminiert fühlen ;)

Ich habe mir damals gemerkt, dass bei Potenzreihen implizit \(0^0=1\) angenommen wird, aber \(0^0\) explizit nicht definierbar ist.

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Das ist scheinbar ein Bereich der Mathematik, in dem es kein richtig oder falsch gibt, je nach Sichtweise ist \( 0^{0} \) = 1 oder nicht definiert. Definitionen sind scheinbar nicht in Stein gemeißelt, sondern sind auch abhängig vom Zweck und den Agierenden.

Vielen Dank für die Info.

Answer 2

Aloha :)

Die Funktion \(f(x,y)=x\cdot y\) hat unendlich viele Nullstellen. Es reicht bei einem Produkt ja völlig aus, wenn bereits einer der beiden Faktorn null ist. Die Nullstellen sind daher:$$(x,0)\quad\text{mit}\quad x\in\mathbb R$$$$(0,y)\quad\text{mit}\quad y\in\mathbb R$$Oder als Menge geschrieben:$$M_0=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\left|\,x=0\,\lor\,y=0\right.\}$$

Comments

Super. Vielen Dank für die Antwort, Tschakabumba :-)