Nullstellenberechnung von Brüchen

Question

Folgende Aufgabe:

Ich soll die Extremstellen berechnen

Meine Frage:

In der Lösung wurde direkt nur mit dem Zähler gerechnet. Kann man das automatisch so machen? oder wurde zuvor mit e^x multipliziert und da sich das aufhebt mit 0 wurde nur mit dem Zähler gerechnet.

Text erkannt:

Extremwerte: \( f^{\prime}(x)=0 \)
\( \frac{1-x}{e^{x}}=0 \Leftrightarrow 1-x=0 \Rightarrow x_{E}=1 \)
\( f^{\prime \prime}(1)=\frac{-2+1}{e^{x}}=-\frac{1}{e^{x}} \text { Maximum } E\left(1 ; \frac{1}{e}\right) \)

Wendepunkte: \( f^{\prime \prime}(x)=0 \)
\( \frac{-2+x}{e^{x}}=0 \Leftrightarrow-2+x=0 \Rightarrow x_{W}=2 \)
\( f^{\prime \prime \prime}(2)=\frac{3-2}{e^{2}}=\frac{1}{e^{2}} \Rightarrow \text { Wendepunkt } W\left(2 ; \frac{2}{e^{2}}\right) \)

Answer 1

Bei Brüchen darf der Nenner nicht Null werden (Definitionslücke).

Du kannst hier aber auch mi e^x multiplizieren. Es führt zum selben Ergebnis.

0*e^x =

-2+x = -1

x = 1

Es ist unnötige Schreibarbeit, wenn hier auch minimal

Answer 2

Hi,

Du kannst einen Bruch schreiben als:

\(\frac{a}{b} = \frac1b\cdot a\)

In Deinem Fall also:

\(\frac{-2+x}{e^x} = \frac{1}{e^x}\cdot(-2+x)\)

Der Bruch in der Ersatzschreibweise kann nie Null werden. Bleibt also die Untersuchung von \(a\) bzw \((-2+x)\).

Wenn man das weiß, kann man generell einfach nur den Zähler anschauen, wenn man sich Nullstellen anschaut.

Grüße

Answer 3

Ein Bruch \(\frac{a}{b}\) mit \(b\neq 0\) hat genau dann den Wert 0, wenn der Zähler 0 ist.