Wie kommt man hier auf die +3?

Question

Aufgabe:

Wie kommt man hier auf die +3?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

convegent?
$$ Q=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a k+1}{a k}\right|=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{k+3}{s k+1} \quad \frac{5 k}{k+2}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{5} \frac{k+3}{k+2}=\frac{1}{5} $$

Comments

Hallo,

es wäre gut, wenn du auf Antworten reagierst, entweder mit einer Nachfrage oder mit einem "Danke, hab's verstanden."

:-)

Answer 1

$$a_k=\frac{k+2}{5^k}\\    a_{k+1}=\frac{(k+1)+2}{5^{k+1}}        =\frac{k+3}{5^{k+1}}$$

Answer 2

Aloha :)

Die Summe lautet ja:$$s_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k+2}{5^k}$$mit den einzelnen Folgengliedern:$$a_k=\frac{k+2}{5^k}$$Der auf \(a_k\) direkt folgende Summand ist$$a_{k+1}=\frac{(k+1)+2}{5^{k+1}}=\frac{k+3}{5^{k+1}}$$In deiner Rechnung wurde das Quotientenkriterium herangezogen, um zu prüfen, ob die Summe konvergiert:

$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{\frac{k+3}{5^{k+1}}}{\frac{k+2}{5^k}}\right|=\left|\frac{k+3}{5^{k+1}}\cdot\frac{5^k}{k+2}\right|=\frac{1}{5}\cdot\frac{k+3}{k+2}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1+\frac{3}{k}}{1+\frac{2}{k}}\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\frac{1}{5}$$Da der Grenzwert \(<1\) ist, konvergiert die Summe für \(n\to\infty\).