\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(2 \cdot \sqrt{k}-4 \cdot \sqrt{k+1}+2 \cdot \sqrt{k+2}) \)
\( = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=0}^{n}(2 \cdot \sqrt{k}-4 \cdot \sqrt{k+1}+2 \cdot \sqrt{k+2}) \)
Und jetzt sieh dir die Summe an , die beginnt so (für n=3)
\( (2 \cdot \sqrt{0}-4 \cdot \sqrt{1}+2 \cdot \sqrt{2}) + (2 \cdot \sqrt{1}-4 \cdot \sqrt{2}+2 \cdot \sqrt{3}) + (2 \cdot \sqrt{2}-4 \cdot \sqrt{3}+2 \cdot \sqrt{4}) + (2 \cdot \sqrt{3}-4 \cdot \sqrt{4}+2 \cdot \sqrt{5}) \)
Da hebt sich einiges weg:
\( =2 \cdot \sqrt{0}-2 \cdot \sqrt{1}+0 \cdot \sqrt{2} +0 \cdot \sqrt{3} +0 \cdot \sqrt{3}-2 \cdot \sqrt{4} +2 \cdot \sqrt{5} \)
\( =-2 ( \sqrt{1}+0 \cdot \sqrt{2} +0 \cdot \sqrt{3} +0 \cdot \sqrt{3}+ \sqrt{4} - \sqrt{5} ) \)
\( =-2 ( \sqrt{1} + \sqrt{4} -\sqrt{5} ) \)
Und das ist die Formel für n=3 .