Question

Aufgabe: wie zerlegt man die Zahl 100 in zwei nichtnegative summanden?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe ein Problem diese Aufgabe zu lösen :( kann mir jemanden nur erklären, wie ich sie machen soll!

:)

Die Zahl 100 soll so in zwei nichtnegative Summanden zerlegt werden, dass das Produkt dieser Summanden möglichst groß bzw. möglichst klein wird.

Answer 1

100 = x + (100 - x)

Die Summanden sind also x und 100 - x

Das produkt P soll möglichst groß sein und damit muss die Ableitung des Produktes Null sein.

P = x * (100 - x) = 100x - x^2

P' = 100 - 2x = 0 → x = 50

Für x = 50 haben wir ein lokales Maximum

D.h. die Summanden lauten 50 und 50 und das Produkt ist 2500.

Wenn ihr die Ableitung noch nicht gehabt habt dann kannst du auch den Scheitelpunkt von

P = x * (100 - x)

berechnen. Da man die Nullstellen mit 0 und 100 in der faktorisierten Form ablesen kann, hat man den Scheitelpunkt bei x = 50.

Answer 2

x+y=100

y= 100-x

x*y → maximieren

f(x) = x(100-x)= 100-x^2

f '(x) = 0

-2x+100 = 0

x= 50 → y = 50

Answer 3

Möglichst groß,  ist die Fläche eines  Quadrat, bei vorgegeben Summe der beiden Seiten. Also 50 + 50 =100

50*50=2500

möglichst klein geht nicht, da die Fläche immer kleiner wird , wenn eine Seite immer kleiner wird, da hilft es auch nicht, dass die andere größer wird.

Wenn wir aber natürliche Zahlen größer Null nehmen, dann ist 1+99 =100

1*99 das kleinste Produkt.

Wenn 0 zugelassen ist, dann wird 0+100=100 und 0*100 =0 da 0 nicht negativ ist haben wir auch das kleinste Produkt gefunden.

Answer 4

Wenn die Summe von zwei Zahlen 100 ist, lassen sich die beiden Zahlen in der Form (50+a) und (50-a) mit positiven Zahlen a darstellen.

Wann (50+a)*(50-a) maximal wird, sollte man mit Kenntnis einer binomischen Formel (auch ohne Kenntnis von Ableitungen oder Parabelgleichungen) sofort sagen können...

Da die Summanden ganzzahlig und nichtnegativ sein sollen, kommen für a nur die Werte 0, 1, 2, ..., 48, 49, 50 in Frage.

Damit ist auch (wieder mal binomisch) klar, wann (50+a)*(50-a) minimal wird.

Comments

lassen sich die beiden Zahlen in der Form (50+a) und (50-a) mit positiven Zahlen a darstellen.

Wie kommst du darauf? Warum zweimal a?
Warum derselbe Abstand von 50?

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Die Summe der beiden Zahlen soll 100 ergeben. Das ist z.B. mit 50+50 der Fall. Wenn aber nicht beide Summanden 50 sind und ein Summand größer als 50 ist, dann muss der zweite Summand um genau so viel kleiner als 50 sein, wie der erste Summand größer als 50 ist.

Im übrigen hättest du die Richtigkeit meines Ansatzes selbst überprüfen können und zur Probe die Summe aus 50+a und 50-a bilden können...

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Danke. Später ist mir das auch eingefallen. Logisch. :)