Wie muss a gewählt werden? Vektoren

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte P(2/2/1), Q(5/10/15),R(3/a/0), S(4/6/5).Wie muss a gewählt werden wenn die Differenz der Vektoren PQ und RS den Betrag 11 besitzen soll?

Problem/Ansatz:

Betrag von Vektor PQ:

Wurzel aus: (5-2)^2 + (10-2)^2+(15-1)^2 =16.4

Differenz PQ und RS Betrag = 11

D.h. Wenn PW=16.4. 16,4-RS=11 -> RS=5

Betrag RS soll 5 ergeben:

Wurzel aus: 1^2+(6-a)^2+(-5)^2 =5

Umstellen nach a:

Indem quadrieren, dann löst sich Wurzel

 1^2+(6-a)^2+(-5)^2 =25

Auflösen

1 + 36-(2*a*6) + a^2 + 25 = 25

a^2 - 12a + 37 = 0

Pq formel anwenden p= -12 und q:37

Jedoch bekomme ich nur error... wo ist mein Denkfehler?

Vielen dank!

Answer 1

Du hast da was missverstanden.

Du sollst NICHT von zwei Vektoren die Beträge bilden und dann die Differenz der Beträge betrachten.

Du sollst zwei Vektoren bilden, den Differenzvektor davon berechnen und von dieser Differenz den Betrag betrachten.

Answer 2

Aloha :)$$\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p=\begin{pmatrix}5\\10\\15\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\8\\14\end{pmatrix}$$$$\overrightarrow{RS}=\vec s-\vec r=\begin{pmatrix}4\\6\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\a\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\6-a\\5\end{pmatrix}$$Der Differenz-Vektor \(\vec d\) dieser beiden Vektoren ist:$$\vec d=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{RS}=\begin{pmatrix}3\\8\\14\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\6-a\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2+a\\9\end{pmatrix}$$Der Betrag dieser Differenz soll gleich \(11\) sein. Um uns das Wurzelzeichen zu ersparen, können wir auch mit dem Quadrat des Betrages rechnen, der dann \(11^2=121\) sein muss:$$\left.121=2^2+(2+a)^2+9^2=4+(2+a)^2+81=(2+a)^2+85\quad\right|\quad-85$$$$\left.36=(2+a)^2\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm6=2+a\quad\right|\quad-2$$$$a=-2\pm6$$Wir haben also zwei Lösungen gefunden:$$a=-8\quad;\quad a=4$$