Wie viele Möglichkeiten gibt es, für 100€ 100 Kugeln zu kaufen, die 500g wiegen?

Question

Aufgabe:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, für 100€ 100 Kugeln zu kaufen, die 500g wiegen ?

Problem/Ansatz:

Es existieren 4 Sorten verschiedener Glaskugeln.

Eine Kugel der Sorte 1 wiegt 1g und kostet 40ct.

Eine Kugel der Sorte 2 wiegt 4g und kostet 90ct.

Eine Kugel der Sorte 3 wiegt 8g und kostet 1,20€.

Eine Kugel der Sorte 4 wiegt 10g und kostet 1,80€.

Wie viele Möglichkeiten existieren, für 100 € genau 100 Kugeln zu erwerben, die insgesamt genau 500g wiegen ?

Ich habe die Sorten zunächst bezeichnet :

Eine Kugel der Sorte 1 wird dargestellt als x.

Eine Kugel der Sorte 2 wird dargestellt als y.

Eine Kugel der Sorte 3 wird dargestellt als k.

Eine Kugel der Sorte 4 wird dargestellt als n.

Weiterhin habe ich alle „offensichtlichen“ Informationen als Gleichungen dargestellt :

x+y+k+n=100

x+4y+8k+10n=500

0,4x+0,9y+1,2k+1,8n=100

Also für die Menge, die Kosten und die Masse.

Jetzt weiß ich aber nicht wie ich weitermachen soll, vielleicht bin ich das Problem ja auch falsch angegangen.

Vielen Dann für alle Tipps und Hilfen :)

Comments

Das System ist unterbestimmt.

Du musst eine Variable frei wählen,

Die Variablen müssen natürliche Zahlen sein.

Answer 1

Hallo,

bis dahin hast Du alles richtig gemacht. Das ist ein unterbestimmtes Gleichungssystem, was man mit dem Gauß'schen Verfahren lösen kann. Ich multipliziere die letzte Gleichung noch mit 10, damit dort nur ganze Zahlen stehen. Auch addiere und subtrahiere ich die Gleichungen während des Verfahrens derart, dass die ganzen Zahlen bleiben. Das gibt:$$\begin{array}{cccc|c}1& 1& 1& 1& 100\\ 1& 4& 8& 10& 500\\ 4& 9& 12& 18& 1000\end{array} \\ \begin{array}{cccc|c}3& 0& -4& -6& -100\\ 0& 3& 7& 9& 400\\ 0& 5& 8& 14& 600\end{array} \\ \begin{array}{cccc|c}33& 0& 0& -54& -300\\ 0& 33& 0& 78& 3000\\ 0& 0& -11& -3& -200\end{array} \\ \begin{array}{cccc|c}11& 0& 0& -18& -100\\ 0& 11& 0& 26& 1000\\ 0& 0& 11& 3& 200\end{array}$$In der ersten Zeile steht dann$$11x - 18 n = -100 \implies 11x = 18n - 100$$ \(n\) und \(x\) müssen beide natürliche Zahlen sein. Und \(n\) muss ausreichend groß sein, dass \(18n - 100 \gt 0\) wird. Damit gilt \(n \gt 5\). Weiter muss der Term \(18n - 100\) durch \(11\) teilbar sein, Die kleinste Zahl, die auch größer \(5\) ist, für die das gilt, ist die \(8\). Mal angenommen, \(n=8\), dann kann man die anderen Zahlen ausrechnen:$$\begin{aligned}x &= \frac 1{11} (-100 + 18n) &&= 4 \\ y &= \frac 1{11}(1000 - 26n) &&= 72 \\ k &= \frac 1{11}(200 - 3n) &&= 16\end{aligned}$$Das heißt, wir haben schon mal eine Lösung. Jede weitere Lösung erhält man, indem man die Lösung für \(n\) mit \(11\) addiert. Wobei auch gelten muss ... $$(1000 - 26n \gt 0) \land (200 - 3n \gt 0)$$... damit \(y\) und \(k\) nicht negativ werden. D.h. \(n\) muss kleiner als \(n \lt \min(1000/26, 200/3) \lt 39\) sein.

Damit sind genau drei Lösungen möglich: $$n_1=8, \quad n_2 = 19, \quad n_3 = 30$$und die Berechnung von \(x\), \(y\) und \(k\) geht wie oben beschrieben.

Answer 2

Du hast 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Das kannst du in Abhängigkeit einer Unbekannten lösen.

Dann kannst du für die unabhängige Variable natürliche Zahlen einsetzen und die gültigen Lösungen rausschreiben.

Hier eine Kontroll-Lösung von meinem Freund Wolfram

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