Hallo,
erinnert mich an folgendes:
Sei \(n=\dim V\) und \(m=\dim W\), \(\varphi : V\to W\) linear und \(r=\dim\varphi(V)\). Dann exisitieren Basen \(B\) von \(V\) und \(C\) von \(W\) mit \(M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}(\varphi)=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), wobei \(E_r\) die \(r\times r\)-Einheitsmatrix ist.
Beispiel:
Gegeben sei \(A=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{3\times 4}\). Wir wollen nun geordnete Basen \(\mathcal{B}\) von \(\mathbb{R}^4\) und \(\mathcal{C}\) von \(\mathbb{R}^3\) bestimmen, so dass die Darstellungsmatrix \(M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}(\varphi_A)\) die obige Form hat.
Dafür brauchen wir die Basen vom Kern und dem Bild. Es gilt:$$\ker \varphi _A=\left \langle \begin{pmatrix} 12\\7\\0\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 10\\6\\1 \\ 0 \end{pmatrix}\right \rangle$$$$\varphi_A(\mathbb{R}^4)=\left \langle \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\right \rangle$$ Für die Urbilder der angebenen Basisvektoren vom Bild \(\varphi_A(\mathbb{R}^4)\) gilt:$$\varphi _A\left(\begin{pmatrix} -5\\-3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}, \quad \varphi _A\left(\begin{pmatrix} 3\\2\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$$ Insgesamt hat man dann folgende geordnete Basis \(\mathcal{B}\) des \(\mathbb{R}^4\):$$\mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} -5\\-3\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3\\2\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 12\\7\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 10\\6\\1\\0\end{pmatrix}\right)$$ Ergänzt man nun die Basis des Bildes im \(\mathbb{R}^3\) zu einer geordneten Basis \(\mathcal{C}\) des \(\mathbb{R}^3\), erhält man:$$\mathcal{C}=\left(\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)$$ Insgesamt gilt dann, dass $$M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}(\varphi_A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
