Text erkannt:
§1 Basiswechuelmativen
1 Köper
Sei \( V, W \) endiche ent. \( K-V R \) und \( f: V \rightarrow W \) lin. Abef.
Erimereng:
Wall ven Basen \( v_{1}, \ldots, v_{n} v_{n} V \) und \( w_{1}, \ldots, w_{n} \) von W
\( \Rightarrow \) haben dasst. Matix Af \( \in M_{m \times n}(K) \)
Nun scien ander Basen \( v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{n}^{\prime} \) wan \( V \) und \( w_{1}^{\prime}, \ldots, w_{n}^{\prime} \) won \( W \) gwialll
\( \Rightarrow \text { Behame } A^{\prime} f \in M_{m \times n}(K) \)
Frage:
Wie haingen Afund Af uss?
Hube die sog. Bassuwechulmativen
\( \begin{array}{l} S=\left(s_{j_{k}}\right) \in \mu_{n}(k), v_{k}=\sum \limits_{j=1}^{n} s_{j_{k}} v_{j}^{\prime} \\ T=\left(f_{j k}\right) \in \mu_{m}(k), w_{k}=\sum \limits_{j=1}^{n} q_{j k} x w_{j}^{\prime} \end{array} \)
7 (shibbe diealle Basis inder.numen Bay \( \mathrm{ma} / \mathrm{s} \)
Offentew gill
(i) \( S \) is die rugghäge \( M a h_{i x} \) uu \( V \stackrel{l}{ } V_{k, V_{n}}, V \),
\( \Rightarrow S, T \) sind reguliar Mahicen (Kap II 33)
sean \( S^{-1} \) und \( T^{-1} \) die zu Sund \( T \) ino. Maliven
\( \left(s^{-1}\right) \)
Text erkannt:
is gleich \( T \cdot A g \cdot S^{-1} \), weeler nach \( \boxplus 36 \)
\( \Rightarrow A_{f}^{\prime}=T \cdot A_{f} \cdot S^{-1} \)
Sperialfall
usd \( V=W \) mil Bais \( V_{1},-1 \) in and ior \( V_{i}^{\prime} \), ,., \( V_{n}^{\prime} \) eine nere Basis, so exgibl rind \( T=S \) and win enalten \( A_{j}=S \cdot f \cdot S^{-1} \)
Lerman 1
Multiplibatien siner Mahix mil einew rog. Mahie won reolls oburlinhls ändest micht den Rang dea tergangsmatix
Beweis
Sie \( A=\mu_{m \times n}(K) \) die Aungengsmathix und \( Z \in G L_{n}(K) \)
Beh: \( \operatorname{rg}(A \cdot Z)=r g(A) \), dem : siem \( e_{1}^{\prime}, \ldots e_{n}^{\prime} \in K^{n} \) die fallionivon \( Z \),
abro \( e_{k}^{\prime}=\sum \limits_{j=1}^{n} z_{j} e_{j} \forall_{k}=1 \), ,n
II \( 36 \Rightarrow \) die nug. Mahic
\( =\operatorname{dim} \operatorname{in}\left(F_{A}\right) \)
\( =\operatorname{ng}(A) \)
(hinhomint analog)
\( \Rightarrow g(t \cdot 2)=g(A) \)
Text erkannt:
Sath 2
In geg. f: \( V \rightarrow W \) lassen sich Basen \( V_{1},, V \) von \( V \) und \( w_{1}, w_{n} \) von \( W \) wathen, salass \( A g=\left(\begin{array}{cc|c}1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ \hline & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l|l|l}E_{r} & \theta \\ \hline 0 & 0\end{array}\right) \) mil \( r=\operatorname{dim} \operatorname{im}(f) \)
Beweis
\( r= \) dim inilf). Dam is offenber \( n-r=\operatorname{dim} \) leiff) (IV 11 )
Sei \( v_{r+1}, \ldots, v_{n} \) Basis ven ker \( (g) \). Engäme me Basis won \( v_{1}, \cdots, v_{n} \) vonV (Aushusdiaht)
\( \Rightarrow w_{r}:=f\left(v_{7}\right), \ldots w_{r}:=f\left(v_{t}\right) \) encugen das Beld im \( (f) \).
\( \left.\left(V=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle, f\left(v_{i}\right)=0 \forall_{i}\right\rangle r\right) \)
Wegen dim in \( (y)=r \) bilden \( w_{1}, \cdots, W_{r} \) beriels Basis vanim ( \( f \) ). ist \( A_{j}=\left(a_{i j}\right) \) geg duch \( f\left(v_{j}\right)=\sum \limits_{j=1}^{m} a_{i j} w_{i} \), abs ist diaj-le frallewn
\( A_{f}=\left\{\begin{array}{ll} e_{j}, \text { folles } 1 \leq j \leq r \\ 0, & \text { folls } j>r \end{array}\right. \)
Koollar 3
Sie \( A \in M_{m \times n}(K) \) belieting. Damn eliskiern
reguline Mativen \( s \in G \alpha_{n}(k), T \in G L_{n}(k) \), colass
\( T A S^{-1}=\left(\left.\frac{E_{r}}{Q}\right|_{\infty} ^{0}\right) \text { mil } r=\operatorname{rg}(\lambda) \)
Beweis
Sasse Acouf als Mahix \( A f \) wn \( f=F_{A}: k^{n} \rightarrow k^{m} \)
bagl de Stawkladtheven van \( k^{n} \) und \( k^{m} \). Wälle nun mil
Sik 2 un ABf frewe Baren \( e_{1}^{\prime}, \ldots, e_{n}^{\prime} \) van \( k^{n} \) und \( e_{1}^{\prime}, \ldots, e_{m}^{\prime} \) wan \( k^{m} \)
Collass die wugotinge Mahix \( A_{f}^{\prime} \) die form hot \( \left(\frac{E_{r} \mid O}{O \mid 0}\right) \) mil \( r=\operatorname{dim} \operatorname{im}(f) \) Beadle: dim im \( (f)=\pi g(A f) \)
Beadle: \( \operatorname{dim} \operatorname{im}(f)=\operatorname{Tg}(A f) \)
\( \Rightarrow r=\operatorname{ng}(A) \)
Text erkannt:
Anfainglihe Dithumions \( \Rightarrow \)
\( T \cdot A g \cdot S^{-1}=A^{\prime} f \)
Spricalfall
Wemn \( V=W \) ham man in Algemeinen nich sine Basis \( u_{1}, \cdots v_{n} \) ven Vuillen, soodass Af die gerkilt \( \left(\frac{\epsilon_{r} 0}{V_{0}}\right) \) hat,
\$2 Die Teilenstuenfom eine Mahix
\( \text { Sei } A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(k) \)
\( \operatorname{lof}_{4} \)
Die elementanen Teilenumformungen aine Mahix sind:
I. Ald wimes Teile zueiner andeen Tibe
II. Nult mil Sholaren \( \neq 0 \)
Bppin I:
III Venkusshn wei Ziten
II Abd. des cfachen Sfrolass (cek) aine andien Zile lassen sich duch Kont won I und II esicten.
Hier ist mein Skript, ich verstehe nicht wie ich T*Af*S^-1 anwenden soll
