geschlossenen Ausdruck für eine Summe finden

Question

Hallo,

Meine Aufgabe lautet

Finden Sie einen geschlossenen Ausdruck für die Summe \( \sum\limits_{k=0}^{n} \) 3^k

Ich weiß, dass eine geschlossene Formel eine Formel ist, in der ich n einsetzen kann und ohne eine Rekursion auf das Ergebnis komme.

Ich habe für n die ersten Werte eingesetzt, aber keine Regelmäßigkeit herausgesehen.

Für n=1  := 4

    n= 2 := 13

    n=3 :=40

Gibt es ein Verfahren, wie ich eine Summe in eine geschlossene Formel umformen kann?

Vielen Dank im Voraus!!

Answer 1

Hallo,

n=1 : 4=(3^2-1)/2

n=2 : 13=(3^3-1)/2

n=3 : 40=(3^4-1)/2

Oftmals ist OEIS oder WolframAlpha hilfreich. Du musst nun nur noch über Induktion beweisen, dass $$\sum_{k=0}^{n}{3^k}=\frac{1}{2}\left(3^{n+1}-1 \right)$$

Comments

Danke sehr,

siehst du das mit bloßem Auge oder steckt mehr dahinter?

Alleine bin ich so nicht drauf gekommmen.

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Ich bin so darauf gekommen. Klicke hier. :-)

Answer 2

$$s_n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$$

Allerdings habe ich die Lösung durch googlen gefunden.

:-)

So geht's ohne googlen:

\(s_n=\sum\limits_{k=0}^n q^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\)

Mit q=3 erhält man die angegebene Formel.

:-)

Comments

(3^(n+1)-1)/2 würde ich sagen.

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Hallo rc

das ist mir auch gleich aufgefallen. Hab's schon korrigiert.

:-)

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Dann gibt es von mir natürlich ein Däumchen für die nun richtige Antwort :P

Answer 3

geometrische Reihe:

q=3, n=4, a0= 3^0= 1

1*(3^4-1)/(3-1) = 40