Ableitung der Kosinusfunktion - Reihe

Question

Aufgabe: Ableitung der Kosinusfunktion - Reihe

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits erfolgreich die Sinusfunktion abgeleitet und dafür Gleichungen genutzt wie \((2n+1)!=(2n)! \cdot (2n+1)\)

Jetzt komme ich jedoch nicht weiter, denn ich habe als Ableitung der Kosinusfunktion soweit

f(x)=((-1)^n*x^(2n-1)*(2n-1)*2n)/(2n-1)! $$f(x)=\frac {(-1)^n \cdot x^{2n-1} \cdot (2n-1)\cdot 2n}{(2n-1)!}$$

Wie bekomme ich dieses \(2n\) weg und kann den Exponenten von \(x\) ändern, damit ich ich\( -\sin\) rausbekomme?

Vielen Dank im Voraus!!!

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

den Term \(f(x)\) kannst Du zunächst mal kürzen$$\begin{aligned}f(x) &=\frac {(-1)^n \cdot x^{2n-1} \cdot (2n-1)\cdot 2n}{(2n-1)!} \\&= \frac {(-1)^n \cdot x^{2n-1} \cdot 2n}{(2n-2)!} \end{aligned}$$wenn Du das nun nach \(x\) ableitest, so erhältst Du$$f(x) = \frac {(-1)^n \cdot (2n-1) x^{2n-2} \cdot 2n}{(2n-2)!} $$Aber ich glaube Du hast da irgendetwas verkompliziert. Die Reihenentwicklung der Cosinus-Funktion sieht so aus$$\begin{aligned} \cos(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}$$Beim Ableiten entfällt das erste Glied mit \(n=0\), da dies nicht von \(x\) abhängt$$\begin{aligned} \frac{\partial \cos(x)}{\partial x} &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac {2n \cdot x^{2n-1}}{(2n)!} \\&=  \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac { x^{2n-1}}{(2n-1)!}\end{aligned}$$Substituiere \(n=k+1\)$$ \frac{\partial \cos(x)}{\partial x} = -\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = -\sin(x) $$Gruß Werner

Answer 2

Aloha :)

Du kannst die Ableitung des Cosinus auf die des Sinus zurückführen:$$\cos'(x)=\left[\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right]'=\underbrace{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(-1)}_{\text{innere}}=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\sin(x)$$