Zwei Versionen zur Varianz?

Question

Haben zwei Versionen zur Varianz, habt ihr ne Ahnung wieso? (arith.Mittel = x⁻)

S^2= 1/n ∑(x-x⁻)^2 (bei Maximum-Likelihood-Schätzung)

s^2= 1/n ∑x² - x⁻^2

LG Tinu

Answer 1

Beide Formeln sagen das gleiche aus. Das folgt aus dem Verschiebungssatz.

Answer 2

Aloha :)

Beide Gleichungen liefern exakt dasselbe Ergebnis. Man kann beide Varianten ineinander umrechnen:$$V(x)=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N(x_i-\overline x)^2=\left<(x-\overline x)^2\right>=\left<x^2-2x\overline x+\overline x^2\right>$$$$\phantom{V(x)}=\left<x^2\right>-\left<2x\overline x\right>+\left<\overline x^2\right>=\left<x^2\right>-2\overline x \left<x\right>+\overline x^2$$$$\phantom{V(x)}=\left<x^2\right>-2\overline x^2+\overline x^2=\left<x^2\right>-\overline x^2=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^Nx_i^2-\overline x^2$$