Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion f:R→R an,

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie: Ist \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig in \( x_{0}=0 \) und gilt \( f(0)>0, \) dann existiert ein \( \delta>0 \) mit \( f(x)>0 \) für alle \( x \in(-\delta, \delta) \)
(b) Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) an, die auf \( \mathbb{R} \) einmal differenzierbar ist, aber nicht auf ganz \( \mathbb{R} \) zweimal differenzierbar ist. (Vergessen Sie nicht zu begründen, warum die von Ihnen angegebene Funktion die geforderten Eigenschaften erfüllt.

Comments

Bei (b) vielleicht ƒ(x) = x·|x|.

Answer 1

a) Es sein f(0) = k > 0.

==> (nach Def. der Stetigkeit) zu ε=k/2 existiert ein δ mit

| f(x) - f(0) | < ε für alle x mit | x-0| < δ.

Das heißt hier also

Für alle x mit |x| < δ gilt | f(x) - k | < k/2

bzw.

Für alle x mit  -δ < x| < δ gilt     -k/2 < f(x) - k < k/2

==> 
Für alle x mit -δ < x| < δ gilt     k/2 < f(x) < 3k/2

und wegen k>0 sind also alle f(x) positiv. q.e.d.