Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von f (sofern existent).

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die reelle Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{x}{1+x^{2}} \)
(a) Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von \( f \) (sofern existent).
(b) Zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass \( f \) auf \( \mathbb{R} \) Lipschitz-stetig ist.

Answer 1

(a) Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von f (sofern existent).

f '(x)=\( \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \)

f ''(x)=\( \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \)

f '(x)=0 für x=±1.

f ''(1)=-0.5 Lokales Maximum an der Stelle 1.

f ''(-1)=0.5 Lokales Minimum an der Stelle -1.

\( \lim\limits_{x \to\ ±\infty} = 0 \)

Keine weiteren Extrema.