Anfangswertprobleme, wie rechne ich diese Aufgabe?

Question

Aufgabe: Gesucht ist diejenige Funktion f mit den angegebenen Eigenschaften.

f''(x) = 12x, f geht durch den Punkt P(-1l-2) und hat dort die Steigung m=3

Problem: Ich weiß den Ansatz überhaupt nicht, ich weiß, dass ich aufleiten muss und dann wäre die 1. Ableitung f'(x)=6x^2+c und dann wäre die Ausgangsfunktion f(x) =2x^3+Cx+d

Ich weiß aber nicht was ich mit dem Punkt und der Steigung machen soll, wie muss ich da vorgehen?

Answer 1

Aloha :)$$f''(x)=12x$$Das ist die Ableitung von$$f'(x)=6x^2+c\quad;\quad c=\text{const}$$Wir wissen, dass die Funktion bei \(x=-1\) die Steigung \(m=3\) hat:$$3=f'(-1)=6\cdot(-1)^2+c=6+c\quad\Rightarrow\quad c=-3\quad\Rightarrow\quad f'(x)=6x^2-3$$Das ist die Abeltung von$$f(x)=2x^3-3x+d\quad;\quad d=\text{const}$$Wir kennen den Punkt \(P(-1|-2)\), also muss gelten:$$-2=f(-1)=2\cdot(-1)^3-3\cdot(-1)+d=-2+3+d=1+d\quad\Rightarrow\quad d=-3$$Die Funktion lautet also:$$f(x)=2x^3-3x-3$$

~plot~ 2x^3-3x-3 ; -2+3*(x+1) ; {-1|-2} ; [[-3|3|-5|5]] ~plot~

Comments

Vielen vielen Dank!

Answer 2

Hallo

1. dein f' und f ist richtig.

2. du musst c und d bestimmen, du weisst f'(-1)=3 und f(-1)=2 das gibt dir 2 einfache Gleichungen für c und d

Gruß lul

Answer 3

f''(x) = 12·x
f'(x) = 6·x^2 + b
f(x) = 2·x^3 + b·x + c

Bedingungen und zugehörige Gleichungen

f(-1) = -2 --> -b + c - 2 = -2
f'(-1) = 3 --> b + 6 = 3 → b = -3

-(-3) + c - 2 = -2 --> c = -3

Die Funktion lautet also

f(x) = 2·x^3 - 3·x - 3