Wachstums- und Nutzer-Zunahme

Question

Aufgabe:

III
Im Jahr 2008 gab es ca. 100 Millionen Facebook-Nutzer weltweit. Seitdem kann sie jährliche Nutzer-Zunahme bei Facebook näherungsweise beschrieben werden durch
f(t)=180*t*4^-(1/3)+100
mit ( f(t) in Millionen Nutzer pro Jahr, t in Jahren seit 2008)

b.) Wann nahm die jährliche Nutzer-Zunahme am stärksten zu?
c.) Wann war die jährliche Nutzer-Zunahme am höchstens?


IV
Ein Fichtensetzling ist anfangs 50cm hoch. Während der nächsten 100 Jahre wächst die Fichte mit einer Wachstumsgeschwindigkeit von
w(t)=500/625+(t-40)^2
(t in Jahren und w(t) in m pro Jahr)

a.) Wie groß ist die Fichte nach 100 Jahren?
b.) Wann nahm das Fichtenwachstum am stärksten zu?
c.) In welchem Jahr wuchs die Fichte am stärksten?

Answer 1

Ein Fichtensetzling ist anfangs 50cm hoch. Während der nächsten 100 Jahre wächst die Fichte mit einer Wachstumsgeschwindigkeit von
w(t)=500/625+(t-40)^2
(t in Jahren und w(t) in m pro Jahr)

Ich hege Zweifel an der Formel
w(0) = 1600.8 m / Jahr

Comments

Das ist eine gebrochen rationale Funktion. 500/(625+(t-40)²)

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w(t)=500/ ( 625 + (t-40)^2 )
(t in Jahren und w(t) in m pro Jahr)

a.) Wie groß ist die Fichte nach 100 Jahren?

Stammfunktion bilden
S ( t ) = 20 * arctan( t/25 - 8/5 )
Wachstum = S ( t ) - S ( 0 ) + 0.5
s ( 0 ) = -20.24
W ( t ) = S ( t ) + 20.74
W ( 100 )
= 20 * arctan( 100/25 - 8/5 ) + 20.74
= 44.26 m

Die Aufgabe ist aber arg schwer.

Hier der Graph der Wachstums-geschwindigkeit w ( t )

b.) Wann nahm das Fichtenwachstum am stärksten zu?
Besser : wann nahm die Wachstumsgeschwindigkeit am
stärksten zu
Dürfte der Wendepunkt sein
1.Wendepunkt. bei ca 25 Jahr

c.) In welchem Jahr wuchs die Fichte am stärksten
Dürfte der Hochpunkt sein. ca 0.8 m / j

Answer 2

f(t) = 500/(625 + (t - 40)^2) = 500/(t^2 - 80·t + 2225)

f'(t) = 1000·(40 - t)/(t^2 - 80·t + 2225)^2

f''(t) = 1000·(3·t^2 - 240·t + 4175)/(t^2 - 80·t + 2225)^3

F(t) = 20·ATAN((t - 40)/25) + 20.74

a)

F(100) = 44.26 m

b)

f''(t) = 0 → t = t = 25.57 Jahre

c)

f'(t) = 0 --> t = 40 Jahre

Dieses ist nur meine Vergleichslösung. Die vollständige Musterlösung ist etwas umfangreicher.