Preisabsatzfunktion im Monopol: Angebotspreis p und Gewinn berechnen

Question

Aufgabe:

Die Preisabsatzfunktion eines Monopolisten lautet:

p(x)=125-3/4x

Dabei bezeichnet x die Produktionsmenge und p den Preis des Produktes. Die Produktionskosten können mit folgender Kostenfunktion ausgedrückt werden:

K(x)=\( 2x^{2} \) + 15x +10

x und p sollen größer-gleich 0 sein

Problem/Ansatz:

Wie komm ich zuerst an den Preis p zu dem der Monopolist anbieten wird und dann zum Gewinn?

Lösung für p muss 110 sein und für den Gewinn 1110. Aber wie komm ich dahin.

Answer 1

Der Gewinn G berechnet sich aus dem Ertrag beim Verkauf aller angebotenen Produkte (also Anzahl Produkte multipliziert mit dem Preis) und den Kosten aller Produkte (die vom Ertrag abgezogen werden).

Damit:
$$G(x)=x\cdot p(x)-K(x)=x\cdot (125-\frac{3}{4}x)-2x^2-15x-10 = -\frac{11}{4}x^2+110x-10$$

Nun wird der maximale Gewinn über die Ableitung G' gesucht:

$$0=G'(x)=-\frac{11}{2}x+110 \Rightarrow x=20>0$$

Hinreichende Bedingung prüfen:

$$G''(20)=-\frac{11}{2}<0 \Rightarrow lok. Max.$$

Auf globale Extrema untersuchen (da Preis nicht negativ, gilt 0<=x<=500/3):

$$G(0)=-10, \ G(\frac{500}{3}) \approx -58065,56$$

Damit ist der maximale Gewinn bei einer Produktzahl x=20 mit p(20)=125-15=110 und G(20)=1090 gefunden.

(Stimmt der Gewinn eurer Lösung? Eventuell bei der Kostenfunktion ein VZ-Fehler bei der 10?)

Comments

Vielen Dank!

Du hast recht, 1090 stimmt natürlich.