Funktionenschar - Wendetangente

Question

Gegeben sei die Funktionenschar

f_a(x) = x^3+(3-3a)x^2-12ax, a ∈ ℝ, a>0

a) Zeigen Sie, dass f_a den Hochpunkt H(-2|4+12a) besitzt.

b) Zeigen Sie, dass f_a den Wendepunkt W(a-1|-2a³- 6a²+ 6a +2) besitzt.

c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von f₁.

d) Für welches a ∈ ℝ besitzt f_a einen Sattelpunkt, d.h. einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente? Geben Sie ihn an.

Answer 1

f(x) = x^3 + (3 - 3·a)·x^2 - 12·a·x

f'(x) = 3·x^2 + (6 - 6·a)·x - 12·a

f''(x) = 6·x + (6 - 6·a)

a) Hochpunkt f'(x) = 0

3·x^2 + (6 - 6·a)·x - 12·a = 0 --> x = -2 (HP) ∨ x = 2·a (TP)

f(-2) = (-2)^3 + (3 - 3·a)·(-2)^2 - 12·a·(-2) = 12·a + 4

b) Wendepunkt f''(x) = 0

6·x + (6 - 6·a) = 0 --> x = a - 1

f(a - 1) = (a - 1)^3 + (3 - 3·a)·(a - 1)^2 - 12·a·(a - 1) = - 2·a^3 - 6·a^2 + 6·a + 2

c) Wendetangente

f(x) = x^3 - 12·x
f'(x) = 3·x^2 - 12
f''(x) = 6·x = 0 → x = 0

t(x) = f'(0)·(x - 0) + f(0) = - 12·x

d) Für welches a hat fa einen Sattelpunkt

a = -1, weil dafür die Stelle des HP und des TP zusammenfallen.

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