Verbindung von Steckbriefaufgabe und Extremwertproblem, Rechteck unter einer Parabel

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Auftrag 3 Werbefláche Im parabelförmigen Teil der Durchfahrt auf einen Gewerbehof mochte Kfz-Meister Rollmann ein möglichst großes rechteckförmiges Schild mit einem Hinweis auf seine Werkstatt anbringen (siehe Bild \( 13 / 1 \) ).

Welche Maße muss das Schild haben?
\( 13 / 1 \)

Problem/Ansatz: Als erstes habe ich versucht die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu habe ich mir gedacht, dass der Hochpunkt bei (2 | 1.6) meine Bedingungen stellt. Nach dem Berechnen mit einem linearen Gleichungssystem kommt bei mir allerdings -0.4x^2 +1.8x. (y-Achsenabschnitt liegt bei null, also habe ich diesen weg gelassen. Wenn ich mir die Funktion zeichnen lasse, kommt eine etwas andere heraus. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Hallo,

die Parabel erhältst du am einfachsten und effzientesten über den Ansatz \(f(x)=a(x-2)(x+2)\). Aus der Bedingung, dass \(f(0)=1.6\) sein soll, folgt, dass \(a=-0.4\).

Maximiert werden soll nun der Flächeninhalt \(A(x)=x\cdot f(x)=-0.4x(x-2)(x+2)\). Dieser beschreibt tatsächlich nur die Hälfte. Aber das Schild ist spiegelsymmetrisch, daher reicht es, eine Seite zu betrachten. Wir finden ein lokales Maximum bei \(x\approx 1.1547\). Die tatsächliche Länge ist das zweifache.

Comments

Danke für deine Antwort! Aber wie komme ich auf das (x-2) bzw. (x+2) in der Funktionsgleichung und wie kommt man durch den y-Achsenabschnitt an das a?

---

Das ist die sogenannte Linearfaktor-Darstellung. Parabeln der Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) lassen sich, kennt man die Nullstellen \(x_1,x_2\), in Linearfaktoren zerlegen. Dabei gilt \(f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Das habe ich getan, denn die Nullstellen kann man sofort ablesen, da die Spannweite des Bogens 4m sein soll. Das \(a\) führe ich als weitere Variable ein, um die dritte Bedingung noch unterzubringen.

---

wie kommt man durch den y-Achsenabschnitt an das a?

f(0)=1.6, d. h. 1.6=a(0-2)(0+2) und damit -4a=1.6 und letztlich a=-0.4.

Answer 2

Konventioneller gerechnet
Du legst ein Koordintaenkreuz in die MItte der Grundstrecke
( x | y )
( 0 | 1.6 )
( 2 | 0 )
Die Parabel ist nicht mittig verschoben und lautet
f ( x ) = a * x^2 + b
Einsetzen
erster Punkt
1.6 = a * 0^2 + b   => b = 1.6

zweiter Punkt
0 = a * 2^2 + 1.6
a = -0.8

f ( x ) = -0.4 * x^2 + 1.6

Siehe nun die Skizze von Wurzel
Die halbe Fläche ist
A ( x ) = x * f(x) = x * ( -0.4 * x^2 + 1.6 )
A ( x ) -0.4 * x ^3 + 1.6 * x
1.Ableitung
A ´ ( x ) = - 1.2 * x^2 + 1.6
Extremwerte
- 1.2 * x^2 + 1.6 = 0
x^2 = -1,.6 / -1.2
x^2 = 4 / 3
x = ± 1.15 m

Höhe Schild
f ( 1.15 ) = -0.4 * 1.15 + 1.6
f ( 1.15 ) = - 0.46 + 1.6 = 1.14 m
A = 1.15 * 1.4 = 1.31 m^2
ganzes Schild noch mal 2

Bitte nachprüfen.