Ist das Mengensystem eine sigma -Algebra über B?

Question

Aufgabe:

Aufgabe A Sei $(\Omega, \mathcal{A})$ ein messbarer Raum und sei $B \in \mathcal{A}$. Ist das Mengensystem $\mathcal{A}_{1}:=\{A \cap B \mid A \in \mathcal{A}\}$ eine $\sigma$ -Algebra über $B ?$

Problem/Ansatz:

Meine Lösung ist:

$(\Omega, \mathcal{A})$ ist ein messbarer Raum ⇒ $\mathcal{A}$ ist eine σ-Algebra über Ω

1. $\Omega$ ∈ $\mathcal{A}$

2. Sei C ∈ $\mathcal{A}_{1}$ ,dann existiert A ∈ $\mathcal{A}$ mit C = A∩B. Somit gilt B\C = B\ (A∩B) = A^c ∩B

3. Sei (C_i) ∈ ($\mathcal{A}$)^ℕ. Dann existert (A_i) ∈ $\mathcal{A}$ derart, dass A_i ∩ B = C_i für jedes i ∈ ℕ.

Folglich gilt UC_i = U (A_i∩B) = (UA_i) ∩B ∈ $\mathcal{A}_{1}$

Ist es richtig?

Comments

Hallo,

zu 1. müsste es wohl heißen: $B=\Omega \cap B \in \mathcal{A}_1$. Bei 2. würde ich abschließen mit $B \setminus C= \ldots \in \mathcal{A}_1$.

Sonst scheint mir alles Klar.

Gruß