Berechnen Sie det(A) und Rg(A)?

Question

Aufgabe:

Es sei \( 0<n \in \mathbb{N} \) und \( A \in \mathbb{Q}^{n \times n} \) habe die Einträge
$$ A_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} i & i=j \\ 1 & i \neq j \end{array}\right. $$
für \( 1 \leq i, j \leq n . \) Berechnen Sie \( \operatorname{det}(A) \) und \( \operatorname{Rg}(A) \)

Problem/Ansatz:

Ich habe morgen meine Prüfung, und ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe!

Könnte mir bitte jemand helfen? Ich bedanke mich bei euch im voraus!

Comments

det(A)=-(n-1) für gerade n.

det(A)=n-1 für ungerade n.

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könntest du vielleicht ein bisschen erklären warum hast diese Antworten?

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Wäre dann nicht det(A)=det(1)=0 für n=1?

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Ich habe folgende Wertetabelle angelegt:

n	2	3	4	5
Det(A)	-1	2	-3	4

und dann das Muster erkannt. Für n=1 gilt Det(0)=0.

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Sorry, meine Wertetabelle ist davon ausgegangen, dass a_ij=0 für i=j.

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Z.B. ist \(\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot2\cdot3=6\) für n=4. Könnte det(A)=(n-1)! passen?

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@Spacko

Sieht gut aus, könnte mit Induktion dann auch gut für alle n bewiesen werden.

Rang von A ist dann jeweils n.

Answer 1

Das Verfahren von Spacko gilt auch für n x n Matrizen. Die erste Zeile von allen anderen Zeilen abziehen ergibt eine obere Dreiecksmatrix mit \( 1 \), \( 1 \), \( 2 \) .... \( (n-2) \), \( (n-1) \) auf der Diagonalen. Also ist die Determinante \( (n-1)! \)