Induktion ohne parate "Formel"

Question

Aufgabe:

Durch Induktion beweisen dass;

Jede ganze Zahl n ≥ 12 kann als Summe geschrieben werden, wobei nur die Zahlen 3

und 7 verwendet werden dürfen

Hat jemand einen Ansatz?

Comments

n = 3*x + 7*y

=> n+1 = 3*(x-2)+7*(y+1) = 3*(x+5) + 7*(y-2)

Answer 1

Da wir immer 3 Addieren können langt es, es für die Zahlen 12, 13 und 14 zu zeigen.

12 = 3 + 3 + 3 + 3
13 = 7 + 3 + 3
14 = 7 + 7

15 = 12 + 3
16 = 13 + 3
17 = 14 + 3

usw.

Comments

Du hast es anschaulich gezeigt.

Doch ist das ein mathematischer Beweis?

Beweise müssen doch irgendwie formalisiert werden, oder?

Was ist der Unterschied zwischen Zeigen und Beweisen?

Gibt es Überschneidungen?

Damit habe ich immer wieder Probleme.

Answer 2

Unter der Voraussetzung n=3k+7j muss auf n+1=3m+7p geschlossen werden.

Nichts leichter als das: Wähle m = k-2 und p=j+1.

Answer 3

Hallo,

es gibt schon eine 'parate Formel'. Die lautet: es existiert für jedes \(n \in \mathbb N\) mit \(n \ge 12\) ein \(x\) und \(y\) mit$$n = 3x + 7y, \quad x,y\, \in \mathbb N_0$$Induktionsanfang mit \(n=12\) $$12 = 3 \cdot 4 + 7 \cdot 0$$für den Induktionsschritt muss man zwei Fälle unterscheiden.

1. Fall  \(y \le 1\), dann ist \(x \ge 2\) $$\begin{aligned} n+ 1 &= 3x + 7y + 1  \\ & = 3x + 7y - 6 + 7 \\ & = 3(x-2) + 7(y+1) \\&= 3x_2 + 7y_2, \quad x_2,y_2\, \in \mathbb N_0 \end{aligned} $$2. Fall \(y \gt 1\)$$\begin{aligned} n+ 1 &= 3x + 7y + 1  \\ & = 3x + 7y + 15 - 14 \\ & = 3(x+5) + 7(y-2)\\&= 3x_2 + 7y_2, \quad x_2,y_2\, \in \mathbb N_0 \end{aligned} $$siehe auch diese Frage.