Vollständige Induktion Formel finden

Question

Aufgabe:

Finden Sie eine Formel für

\(\sum \limits_{k=1}^{n}(2k-1)^2 \)

und beweisen Sie sie.

Problem/Ansatz:

Es soll mit Vollständiger Induktion bewiesen werden. Ich finde jedoch nicht die Formel dafür. Gibt es eine Methode, die man benutzen kann?

Comments

Ich finde jedoch die Formel nicht dafür

Mit einer Suchmaschine schon. Sie führte mich z.B. hier her:
https://www.mathelounge.de/21391/ungerader-quadratzahlen-beweisen-induktion-naturlichen

Answer 1

Da sind ein paar Grundformeln enthalten:

(2k-1)²=4k² -4k + 1.

Kannst du die entsprechenden Summen für 4k², 4k und 1 bilden?

Comments

Was genau meinst du

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Summen für 4k², 4k und 1 bilden?

Summe der Quadratzahlen reicht.

Answer 2

Mach eine Wertetabelle für n = 1 bis 5

1, 10, 35, 84, 165

Bilde die 1. Differenzenreihe

9, 25, 49, 81 → Das ist eine quadratische Funktion

Damit ist die obige Funktion eine kubische Funktion. Welche sollte nicht so schwer sein.

Vermutung also

∑ (k = 1 bis n) ((2·k - 1)^2) = (4·n^3 - n)/3

Comments

Tut mir leid ich hatte erst meine aller erste Vorlesungen in Analysis zur vollständigen Induktion, mein Studium hat neu angefangen. Also ich habe die Wertetabelle erstellt mit der Differenzenreihe mir ist unklar wie du von dort auf die Funktion unten kommst. Wäre echt nett wenn du das erklären könntest :)