Bestimme die erste Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen:

Question

Aufgabe:

a) Bestimme die erste Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen:

b) (Wie a))... und wandle die Ereignisse so um, dass sie positive Hochzahlen besitzen

Problem/Ansatz:

a) f(x)= -5*cos(1-x)

Lösung: f’(x)= 5*sin(1-x)*(-1) = -5*sin(1-x)

Woher kommen jetzt plötzlich die (-1)?

b) 5x^2-4 / 2x^2 (Bruch)

Lösung: f(x)= 5x^2/2x^2 (Bruch) - 4/ 2x^2 (Bruch) = 5/2 -2x^-2

f’(x)= 4x^-3 = 4/x^3 (Bruch)

Was ist gerade passier bei f(x)? aus 4/2x^2 wird -2x^-2??? Wie?

Hilfe wäre mega lieb <3 Ich bedanke mich schon im Voraus! :-*

Answer 1

Woher kommen jetzt plötzlich die (-1)?

Kettenregel ! Das ist die "innere Ableitung ", also die von 1-x

aus -4/2x^2 wird -2x^-2??? Wie?

Es ist ja -4/(2x^2) also die 2 und das x^2 sind im Nenner.

Die -4 und 2 kannst du kürzen, gibt -2.

Und x^2 im Nenner also 1/x^2 ist x^(-2).

Negativer Exponent heißt ja nur: Das gleiche mit positivem Exponenten in den Nenner nehmen.

Answer 2

Kettenregel (hier vereinfacht dargestellt):

$$\frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Konstantenregel (vereinfacht):

$$\frac{d}{dx} (a\cdot f(x)) = a \cdot f'(x)$$

Also z.B. zu a)

$$\frac{d}{dx} (-5\cdot cos(1-x)) = -5 \cdot \frac{d}{dx} cos(1-x) = -5 \cdot (-sin(1-x)\cdot (-1)) = -5 \cdot sin(1-x)$$

Answer 3

Aloha :)

$$\left(\,-5\cdot\cos(1-x)\,\right)'=-5\cdot\underbrace{(-\sin(1-x))}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(1-x)'}_{=\text{innere}}$$Rechnen wir die innere Ableitung \((1-x)'=-1\) aus, erhalten wir als Ergebnis:$$\left(\,-5\cdot\cos(1-x)\,\right)'=-5\cdot(-\sin(1-x))\cdot(-1)=-5\sin(1-x)$$

$$\left(\,\frac{5x^2-4}{2x^2}\,\right)'=\left(\,\frac{5x^2}{2x^2}-\frac{4}{2x^2}\,\right)'=\left(\,\frac{5}{2}-\frac{2}{x^2}\,\right)'=\left(\,-\frac{2}{x^2}\,\right)'=\left(\,-2x^{-2}\,\right)'$$$$=-2\cdot(-2)x^{-3}=4\cdot x^{-3}=\frac{4}{x^3}$$