Ableitungsregeln (ausführlich):

Question

solangsam zweifele ich an dem Wissen unseres Mathelehrers...

Ich möchte mich erkundigen wie ich Extrempunkte und Wendepunkte durch die Ableitungen finde.

 

LG

Comments

Ich bin verwirrt, da unser Lehrer behauptet wir müssten die Ergebnisse der ersten Ableitung in die zweite Form einfügen um Extrema zu finden. Ich jedoch behaupte man muss die Ergebnisse der ersten Ableitung in die Ausgangsform einsetzten, was auch meiner Ansicht nach stimmt.

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Notwendige Bedingung für Extrempunkte ist f'(x_E) = 0

Hinreichende Bedingung ist f''(x_E) <> 0

Y-Koordinate des Punktes ist f(x_E)

Auf die hinreichende Bedingung kann man oftmals meiner Meinung nach verzichten. Sie hilft mir immer nur wenn ich den Graphen überhaupt nicht einschätzen kann.

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Da zumindest bei uns an der Schule sehr viel wert drauf gelegt wird, will ich nochmals betonen, dass die hinreichende Bedingung f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 ist ;).

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Super, danke! Noch eine Frage: Wie kann ich prüfen ob ein Sattelpunkt vorhanden ist?

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Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall des Wendepunkts.

Für letzteren gilt:

Notwendige Bedingung:

f''(x) = 0

Hinreichende Bedingung:

f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0


Für den Sattelpunkt gilt der Spezialfall, dass außerdem f'(x) = 0 ist :).

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Genial, danke :)! 5 Minuten in diesem Forum bringen mehr als 1 Stunde bei unserem Mathe "Dr." (jedoch ist der Titel fraglich, wenn man Schwierigkeiten hat Sinus und Cosinus zu unterscheiden).

Wünsche schönes Weekend :)

Gruß

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:D Freut uns, wenn wir weiterhelfen konnten :).


Ebenfalls

Answer 1

Hi,

es gibt die notwendige Bedingung, dass f'(x) = 0 sein muss.

Zudem gibt es die hinreichende Bedingung, dass f'(x) = 0 und f''(x)≠0 sein muss.

Du musst also Dein Ergebnis aus der ersten Ableitung in die zweite einsetzen um zu überprüfen, ob Du wirklich einen Extremum hast. Du kannst auch feststellen, welches vorliegt (Maximum oder Minimum).

Dabei untersuchst Du aber nur die Stelle.

Hast Du obiges abgeschlossen kannst Du das in die Ursprungsfunktion f(x) einsetzen und erhältst dadurch den y-Wert, also den Punkt.

 

Grüße

Answer 2

Es macht beides Sinn.

Wenn du die Nullstelle in die Funktionsgleichung einsetzt, bekommst du einen Punkt auf der Kurve, in dem die Steigung 0 ist.

Wenn du die Nullstelle in die zweite Ableitung einsetzt, bekommst du die Krümmung in diesem Punkt. Hier interessiert dich normalerweise nur das Vorzeichen. +(Linkskurve ==> lokales Minimum) oder minus (Rechtskurve ==> lokales Max.). Kommt 0 raus nützt dir die 2. Ableitung bei der Beurteilung: Min. oder Max? nichts. Es könnte sein, dass du es mit einem Wendepunkt mit horizontaler Tangente zu tun hast. Das wäre dann ein Terrassenpunkt.

Vgl. vielleicht die Graphen hier: http://mathenexus.zum.de/html/analysis/kurvendiskussion/weiterfuehrendes/abl_05_zweiteAbl.htm